P7960 [NOIP2021] 报数埃氏筛法

在世界杯小组赛的前2分钟AC了了这题，然后赶紧趁热写了篇题解

直接上题目

等会儿

这篇文章写了2678字先赞后看好习惯

题目描述

报数游戏是一个广为流传的休闲小游戏。参加游戏的每个人要按一定顺序轮流报数，但如果下一个报的数是 7的倍数，或十进制表示中含有数字 7，就必须跳过这个数，否则就输掉了游戏。

在一个风和日丽的下午，刚刚结束 SPC20nn 比赛的小 r 和小 z 闲得无聊玩起了这个报数游戏。但在只有两个人玩的情况下计算起来还是比较容易的，因此他们玩了很久也没分出胜负。此时小 z 灵光一闪，决定把这个游戏加强：任何一个十进制中含有数字 7 的数，它的所有倍数都不能报出来！

形式化地，设 p(x) 表示 x 的十进制表示中是否含有数字 7，若含有则 p(x) = 1，否则 p(x) = 0。则一个正整数 x 不能被报出，当且仅当存在正整数 y 和 z，使得 x = yz 且 p(y) = 1。

例如，如果小 r 报出了 6，由于 7 不能报，所以小 z 下一个需要报 8；如果小 r 报出了 33，则由于 34 =17×2，35 =7×5 都不能报，小 z 下一个需要报出 36 ；如果小 r 报出了 69，由于 70∼79 的数都含有 7，小 z 下一个需要报出 80才行。

现在小 r 的上一个数报出了 x，小 z 想快速算出他下一个数要报多少，不过他很快就发现这个游戏可比原版的游戏难算多了，于是他需要你的帮助。当然，如果小 r 报出的 x 本身是不能报出的，你也要快速反应过来小 r 输了才行。

由于小 r 和小 z 玩了很长时间游戏，你也需要回答小 z 的很多个问题。

输入格式

第一行，一个正整数 TT 表示小 z 询问的数量。

接下来 TT 行，每行一个正整数 xx，表示这一次小 r 报出的数。

输出格式

输出共 TT 行，每行一个整数，如果小 r 这一次报出的数是不能报出的，输出 -1−1，否则输出小 z 下一次报出的数是多少。

输入输出样例

输入1
4
6
33
69
300
输出1
8
36
80
-1
输入2
5
90
99
106
114
169
输出2
92
100
109
-1
180

说明提示

【样例解释 #1】

这一组样例的前 33 次询问在题目描述中已有解释。

对于第 44 次询问，由于 300 = 75 \times 4300=75×4，而 7575 中含有 77 ，所以小 r 直接输掉了游戏。

这题放在noip 属实简单了一点

就不给ccf做评论了

思路：

这题乍一看也许是个枚举

但是我们可以用埃氏筛法的思想（线性筛法应该也行但我用的是埃氏筛法）

知周所众，埃氏筛法是筛除质数

那如果我们改一下呢？让他筛除7的倍数以及含有数字7的倍数

FIRST 埃氏筛法

直接模板一改

void euler_prime(){for (int i=1;i<=MAX;i++){if (is_p[i]==1){continue;}if (check(i)){for (int j=i;j<=MAX;j+=i){is_p[j]=1;}continue;}}
}

SECOND 找出含有7的数

这个应该也是基础吧

代码自己考虑考虑就写出来了，就不给代码了

主函数也很简单、

scanf("%lld",&t);euler_prime();for (int i=1;i<=t;i++){scanf("%lld",&x);if (is_p[x]==1){printf("-1\n");}else{while(1){x++;if (is_p[x]==0){printf("%lld\n",x);break;}    }}}

于是本蒟蒻兴致勃勃的去点提交代码

直接TLE（QwQ）

THIRD 错误定位

其它的地方应该也是做到极致了

唯一一个费时间的：

这个while循环太费时，只好优化一下

FOURTH 这题唯一一个不好抽象的地方

最好就是做到O(1)的时间

只能直接查询数组或者求出数值

求出数值不太可能，毕竟不是计算的

所以只剩下查询数组（这里可以把动态规划三要素借来用一下）

初始化：一个数组（名字自定义）

状态定义（重中之重）

要想做到O(1)的时间复杂度

只有一种方法

定义一个数组假设名字为nxt

nxt[i]表示如果对手报出的数字为i，那么我应该报什么

核心改动就在埃氏筛法里：

void euler_prime(){for (int i=1;i<=MAX;i++){if (is_p[i]==1){continue;}if (check(i)){for (int j=i;j<=MAX;j+=i){is_p[j]=1;}continue;}nxt[last]=i;last=i;}
}

last变量用来表示目前为止最后的那个数值

这时候大佬就要问了：啊你这个last和i万一不是连续的那我中间的数值怎么办！啊！a!

的确有这个问题

但是我们平下心来想一想

仔细想一下，我们就考虑7

此时nxt[7]如大佬们所猜测，的确为0（空值）

现在把目光转移到主函数’

如果x==7 那么主函数里面的判断直接给拦住了啊

不懂的同学们可以回去看一下代码

AC代码~

# include <iostream>
# include <cstdio>
# include <cstring>
using namespace std;
# define int long long
# define N 10000005
# define MAX 10000005
int t,x,p[N],num;
int is_p[N]={};//1为7的倍数 0不为7的倍数 
int nxt[N];//nxt[i]为如果对方报i 我应该报什么 
int last;
bool check(int n){while(n){if (n%10==7){return true;}n/=10;}return false;
}
void euler_prime(){for (int i=1;i<=MAX;i++){if (is_p[i]==1){continue;}if (check(i)){for (int j=i;j<=MAX;j+=i){is_p[j]=1;}continue;}nxt[last]=i;last=i;}
} 
signed main(){//freopen("6.in","r",stdin);//freopen("6.out","w",stdout);scanf("%lld",&t);euler_prime();for (int i=1;i<=t;i++){scanf("%lld",&x);if (is_p[x]==1){printf("-1\n");}else{printf("%lld\n",nxt[x]);}}//fclose(stdin);//fclose(stdout);return 0;
}

AC记录~