一. 最小二乘法的拟合原理

根据《数学指南》书中的解释:

图2 《数学指南》中对最小二乘法的解释

上面这段话，枯燥且无趣，大家不用厌恶，数学向来这个样子。

现在，我们来慢慢认识上面这段话的意思，这句话的意思是说，拟合有两个前提：

1. 要有N个不同的点（x1,x2...xN)的测量值（y1,y2,y3..yN) ，说得简单一点，就是要用三坐标在零件上采很多个不同位置的点，如(x1,y1);(x2,y2)...(xN,yN)。

2. 要有目标，就是我们要知道想把这些点拟合成什么样的特征，即所谓的给定函数f(x,a1,a2,...an)。比如说，用三坐标在零件上采了很多个点，我们想把它拟合成圆呢还是拟合成平面？这个我们是在拟合前必须要知道的。

我们继续往下走，假设我们知道我们想把采的点拟合成一个平面，但是这个平面的在空间坐标系中的位置，方向我们并不知道。也就是说要确定这个平面的在三维坐标系中的具体方程，就必须要知道那个给定函数f(x, a1,a2,...an)中的参数a1, a2,...an!

好了，说了半天，我们最终目的就是为了求a1, a2,...an! 而求这些参数的过程就是那个神神叨叨的拟合！

当然了，拟合方法有很多种，只是拟合满足的条件不同。其中有一种只要满足下面的条件，

那么这种拟合方法就是最小二乘法，也就是高斯法。

相信讲到这里，还是有很多小伙伴不太明白，我们再来举个简单的例子说明一下最小二乘法的拟合。

条件1：假设我们在一个平面上采了三个点，分别是u(10,10),v(40,42),w(20,45)

条件2：我们已知想把这三个点拟合成一条直线。这条直线的方程则是 y=ax+b

如果a,b的数值不一样，那么这个直线在空间中的方向和位置也不一样。所以所谓的拟合过程就是求直线方程中的a和b的过程（a,b就是前面提到的参数a1,a2,a3..an)。a,b一旦得出，那么这个直线也就得出来了。见图3：

图3 拟合数据和目标

如何确定a和b呢？根据下面的公式，条件是要求Y方向的差值的平方和最小.

 

即要求下列公式中的R最小。

关于r1, r2, r3见图4.

图4 高斯拟合原理

由图4中不难得出：r1=10a+b-10 r2=20a+b-45 r3=40a+b-42，则有：

求解的过程就是求当R处于最小值时，对应a,b的值。如果真要手工计算这个过程，要用到高等数学中的求偏导，为了不让大家恶心，在这里就不再详细叙述计算过程，把计算过程交给那些苦逼加牛逼的软件工程师们吧。

经过一番计算，我们可以得出 a=1.4009 ；b=-0.3482

则我们可以知道经过所谓的最小二乘法拟合出来的直线是 y=1.401x-0.348. 见下图：

图5 软件中用最小二乘法拟合直线

上面就是对最小二乘法拟合的过程给大家做了一个简单的介绍。现实中所应用的拟合会比上面的例子复杂很多，但是现在软件的算法相对成熟，不管是拟合直线，平面，曲面等，软件都可以快速算出来。具体的我们就不去深究了，但是我们需要知道最小二乘法的特点:

1. 最小二乘法拟合出来的特征是理想的

2. 最小二乘法拟合出来的特征是唯一的

3. 如果没有附加特别的约束（即a1,a2,a3...an之间需要满足某种关系），最小二乘法拟合出来的理想特征，一定在拟合点之间（不是最中间）

4. 最小二乘法具备“民主性”，即倾向于大多数（切比雪夫法是绝对的“中间主义”）。如果和切比雪夫法做比较，下图则可以体现出最小二乘法的所谓的“民主性”。

 

图6 最小二乘法的“民主”性

 

二． 在标准里边哪里必须要用到最小二乘法呢？

相比较ASME而言，ISO更加喜欢最小二乘法，下边我们列出一些案例。

 

1. 最小二乘法应用在尺寸部分

1.1 尺寸要素的默认尺寸

ISO默认独立原则，对尺寸要素的尺寸要求是”两点尺寸”必须合格。如果被测的零件是根轴，要求直径要合格，这时我们就要求两点尺寸必须合格。

什么是两点尺寸呢？，我们对它的定义是“指的是在垂直于轴线的任意截面内，连线过圆心且在零件表面上的两点间的距离”，这里的“轴线”必须是最小二乘圆柱的轴线，“圆心”必须是最小二乘圆的圆心。见下图：

 

图7 图纸和实际零件

已知图纸要求和实际零件如图7所示，如何严格按照标准来检测该轴的直径呢？分三步：

第一步，在实际零件表面采点拟合成最小而成圆柱，找出最小二乘圆柱轴线，见图8：

图8 拟合最小二乘圆柱

第二步，垂直于图8中获得的最小二乘圆柱的轴线，找出截面A-A（多个），见图9：

 

 

图9 找出截面A-A

第三步，在该截面上采点拟合称最小二乘圆，找出该最小二乘圆的圆心。然后在该截面上任意取连线过该圆心的两点，测出距离, 如下图中的d1,d2,d3, 这就是两点尺寸（局部尺寸）。见图10：

图10 两点尺寸（局部尺寸）

只要图10中的两点距离满足22±0.1，该轴的直径就是合格的。

看完上面的三大步骤，相信经常在生产线上做检测的小伙伴嘴里马上会蹦出两个字，“蛋疼”！

而生产车间，检测部门，为了检测这根轴的直径，常规的做法也是分三步来检测：

第一步，拿起游标卡尺

第二步，检测

第三步，放下游标卡尺

事实上，在零件的形状误差不大的情况下，用常规的三大步和高逼格的三大步测量结果的差异并不大，是可以执行的。但并不意味着标准规定的测量方法是多余，它是规定了一种严谨的，具体的，没有争议的一种操作方法，如果客户和供应商发生争执，必须依据标准规定的测量方法来仲裁。

顺便提一下，海克斯康的2017版三坐标软件PC-DMIS里边已经有了测量局部尺寸的功能，如图11中的LP指的就是两点尺寸即局部尺寸（Local Point)。

 

图11 局部尺寸在PC-DMIS中

1.2 尺寸要素的尺寸加GG修饰符号

根据ISO14405-1,如果尺寸要素的尺寸加了GG修饰符号，这时要求实际零件的最小二乘圆柱的直径必须满足图纸要求，见图12：

图12 GG要求在图纸中

图12要求，则要求该实际轴线的最小二乘圆柱直径d必须满足Φ22±0.1。另外， GG的测法在2017版的PC-DMIS里也有，参考图11.

 

2. 最小二乘法应用在几何公差

2.1 默认的几何公差控制

在ISO中，当几何公差控制的对象是中心线的时候，默认都是提取中心线。已知零件图和实际零件如下图所示，要求测量直线度，这时直线度的约束对象则是这根轴的提取中心线，而这个提取中心线的获得，也是要分三步才能获得。见下图：

图13 图纸要求和实际零件

第一步，在实际零件表面采点获得最小二乘圆柱的轴线。见图14

图14 获得最小二乘圆柱轴线

第二步，在垂直于该最小二乘圆柱轴线的平面内采点，拟合出最小二乘圆（平面圆），找出其圆心，见图15

图15 获得最小二乘圆圆心

第三步，将所有获取的每个截面的最小二乘圆的圆心连起来，就形成了一条弯弯曲曲的中心线，这个中心线叫提取中心线（或提取中心要素），在ISO中，当几何公差约束中心要素时，所约束的对象就是这个玩意儿。只要这个提取中心线能够处在直径为Φ0.1的公差带范围内，该轴线的直线度就合格。

图16 直线度的要求

2.2 加修饰符G圈的几何公差控制

最新版的ISO1101:2017增加了很多修饰符号。尽管很烦，其最大的好处在于，设计工程师可以根据功能的需要任意定义需要控制的对象，能更加清晰的表明对零件的要求，使生产制造和质量检测不会出现误解。还有一个好处就是减少了ISO和ASME两个标准之间的差异。

其中有一个符号就是G圈，一旦加了G圈，其几何公差所约束的对象不再是提取中心线，而是最小二乘圆柱的轴线。见图17：

图17 图纸要求和实际零件

图17的垂直度增加了G圈的修饰符号，意味着被测对象不再是该孔的提取中心线，而是用该孔拟合出来的最小二乘圆柱的轴线，如图17所示：

图18 垂直度的要求

图18中，只要用实际孔拟合出来的最小二乘圆柱的轴线落在0.2的圆柱形公差带范围内，该孔的垂直度就合格。需要注意的是，一旦加了G圈，该垂直度不再控制直线度，为了控制其直线度，还要额外增加直线度的要求。而在ISO默认的要求（没有任何修饰符）中，该案例垂直度本来是可以控制直线度的。

最小二乘法的拟合，在几何公差的测量里还有其他地方会用到（如基准后边加G)，这里不再一一叙述。