前言

首先简要介绍一下生成圆的方法：

1. 直接利用圆的方程生成圆
2. 利用圆的对称性生成圆

方法一由于会涉及到浮点运算等因素，不采取该方案。
ps. 这部分想要知道为什么可以参考 计算机图形学 圆及椭圆的扫描转换_百度文库 前面一点。
方法二的原理如下图，利用圆的对称性，我们只需要对一个八分圆进行扫描转换。

在这里我们不妨选择第一象限上斜率绝对值小于1的那八分圆进行扫描转换，以及假设圆心为 (0, 0) 。也就是下图。
友情提示：圆在某点的斜率是该点处切线斜率。圆心不在 (0, 0) 处的点可以通过平移得到。

Bresenham 画圆算法原理

如下图，在 0≤x≤y 的 1/8 圆周上，像素坐标 x 值单调增加，y 值单调减少。
设第 i 步已确定$（x_i,y_i）$是要画圆上的像素点，看第 i+1 步像素点$（x_{i+1},y_{i+1}）$应如何确定。下一个像素点只能是$H（x_i+1,y_i）$或者$D（x_i+1,y_i-1）$中的一个 。

具体选哪个就得看 $d_H和d_D$ 二者的比较了：

1. $d_H$ 更小，下一个像素点就选 $H（x_i+1,y_i）$
2. $d_D$ 更小，下一个像素点就选 $D（x_i+1,y_i-1）$
3. 一样大，选哪个都行。

比较方法就是做差：$d_H-d_D$，然后将结果与0进行比较。

那么问题是 $d_H和d_D$ 二者的值是怎么求得呢？这里就涉及到一个近似：

两个近似

近似方法：
将 CH 近似为 $d_H$
将 DB 近似为 $d_D$

由大图显而易见可以知道 CH 和 DB 的值：
$CH=OH-OC=\sqrt{(x_i+1{)}^2+y_i^2}-R=d_H$
$DH=OB-OD=R-\sqrt{(x_i+1{)}^2+(y_i-1{)}^2}=d_D$

这里由于涉及到了根号运算，因此又做了一个近似：
$d_H=(x_i+1{)}^2+y_i^2-R^2$
$d_D=R^2-(x_i+1{)}^2-(y_i-1{)}^2$

构造判别式

我们不妨构造如下判别式
$p_i=d_H-d_D$
$=(x_i+1{)}^2+y_i^2-R^2-(R^2-(x_i+1{)}^2+(y_i-1{)}^2)$
$=2(x_i+1{)}^2+2y_i^2-2y_i-2R^2+1$

圆与网格点的关系

关系由来

圆与网格点有且仅有上述5种关系，情况分别如上：

其中的BCEF均为该网格上的中点。

首先，我们得再次强调的一点是，在 0≤x≤y 的 1/8 圆周上的每点的斜率绝对值都小于1。即它们与 x 轴负方向的倾角都不能超过图中的 FE 线段。

由于，我们现在点亮的点是 $P(x_i,y_i)$ ，所以圆与 x=1 的交点应该在 BF 之间。由于此段圆弧的斜率均小于1，因此圆与 x=2 的交点应该在 CE 之间，由此上上图中的 5 条圆弧都有了解释：
圆弧1：圆与 x=1 的交点在 BP 间，且该圆斜率变化很小（半径很大）
圆弧4，5：我个人认为是在接近 y=x 这条直线处的网格可以产生这种情况

关系含义

构造判别式：$p_i=d_H-d_D$

1. 精确圆弧是③，则$d_H>0和d_D>0$
   $若p_i<0，即d_H<d_D应选H点$
   $若p_i\ge 0，即d_H\ge d_D应选D点$
2. 若精确圆弧是①或②，显然H是应选择点，而此时$d_H\le 0，d_D>0$，必有$p_i<0$。
3. 若精确圆弧是④或⑤，显然D是应选择点，而此时$d_H>0，d_D\le 0$，必有$p_i>0$。

得出结论：$p_i$ 做判别量，$p_i<0$ 时，选H点为下一个像素点，$p_i\ge 0$ 时，选D点为下一个像素点。

$p_i$ 递推

因为 $p_i$ 代表此次选择哪个点的判别式，如果我们知道下一次选点的判别式和其关系就可以节省很多思考。所以我们要从 $p_i$ 计算 $p_{i+1}$。
ps. 对 $p_{i+1}$ 数学意义的解释：此次点亮的点我们称做$(x_i,y_i)$，下一次点亮的点我们就称做 $(x_{i+1},y_{i+1})$。 $x_{i+1}$ 的值和 $x_i$ 是有递推关系的（$x_{i+1}=x_i+1$ ，见关系由来下的图）。而此次我们将判断点亮哪个点的判别式记作 $p_i$，类似的，下次判断点亮哪个点的判别式我们就记作 $p_{i+1}$
$p_i=d_H-d_D$
$=(x_i+1{)}^2+y_i^2-R^2-(R^2-(x_i+1{)}^2+(y_i-1{)}^2)$
$=2(x_i+1{)}^2+2y_i^2-2y_i-2R^2+1$

$p_{i+1}=2(x_{i+1}+1{)}^2+2y_{i+1}^2-2y_{i+1}-2R^2+1$
$p_{i+1}-p_i=4x_i+6+2(y_{i+1}^2-y_i^2-y_{i+1}+y_i)$

1. 当 $p_i\ge 0$ 时，应选D点，此时 D 点的 y 坐标和 P 的 y 坐标的关系是 $y_{i+1}=y_i-1$，带入上式有：
   $p_{i+1}=p_i+4(x_i-y_i)+10$
2. 当 $p_i<0$ 时，应选H点，此时 H 点的 y 坐标和 P 的 y 坐标的关系是 $y_{i+1}=y_i$，带入上式有：
   $p_{i+1}=p_i+4x_i+6$

画圆

画圆的起始点是(0, R)，即 $x_1=0,y_1=R$，带入前式。即令 i=1 ，就得到：
$p_i=3-2R$
剩下的递推就行。

程序伪码

void BresenhamCircle(int R){     int x,y,p;x=0;  y=R;p=3-2*R;for(;x<=y;x++){       SetPixel(x,y);if(p>=0){p+=4*(x-y)+10;y--;}else {p+=4*x+6;}}
}

根据对称性，只需修改语句 SetPixel(x,y)，画八个对称的点，就可以画出全部圆周。若加一个平移，就可以画出圆心在任意位置的圆周

圆与网格点的关系图示

情况一：$x^2+y^2=10000$
其中 $14^2+99^2=9997$

情况五：$x^2+y^2=10000$，那条横线是 y=77.5
其中 $65^2+76^2=10001$

时间有限，姑且只画这俩。