信号与线性系统翻转课堂笔记15——离散LTI系统模型分析

The Flipped Classroom15 of Signals and Linear Systems

对应教材：《信号与线性系统分析（第五版）》高等教育出版社，吴大正著

一、要点

（1，重点）离散时间信号（序列）的概念，典型的离散时间信号及其特点：单位序列δ(k)、阶跃序列ε(k)、指数序列a^k、正弦/余弦序列cos⁡( ω_0 k)、复指数序列e^(jω_0 k)等，掌握这些离散信号与对应连续信号的联系与区别，掌握正弦序列的周期性判别方法；
（2）离散LTI系统及其差分方程模型；
（3）差分方程的迭代法求解；
（4，重点）掌握离散LTI系统（线性常系数差分方程）的经典法求解方法，理解差分方程特征根对系统自由响应（微分方程齐次解）的影响；
（5，重点）离散系统零输入响应、零状态响应、全响应的求解，注意其中初始条件的使用问题。

二、问题与解答

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（*2）根据上一个问题得到的结论，求解习题1.5。

（*3）举例说明如何由差分方程得出其特征方程。差分方程的齐次解（自由响应）和特征根之间是什么关系，这种关系与微分方程的齐次解与特征根的关系有何区别？重点对比讨论两种系统自由响应模态的幅度、频率与特征根的关系。
（*4）如果将离散LTI系统差分方程的特征根表示为复数平面上的点。则根据上一题的结论讨论：①特征根处于复平面什么范围，当k趋近于∞时，系统的自由响应模态幅度是收敛的？②特征根分别为正实数和负实数（即分别在正实轴和负实轴上）时，其自由响应模态的特点有什么不同？③当特征根处于复平面什么范围时，系统的自由响应是一种振荡模态？振荡模态的频率取决于什么？最大振荡频率为多少？
（*5）求解离散LTI系统的零输入响应、零状态响应、全响应时，由初始条件确定待定系数，分别需要如何利用边界条件（k=0之前或者k=0之后的初始值）？如果给定的初始条件与所需边界条件不符，应该如何处理？请结合课件和教材上的例题进行说明。
（6）求解习题3.6（4）；如果将其中的初始条件改为y(0)=1, y(1)=0，则求解的过程会有什么不同？
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1、离散时间信号

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单位序列在t=0时取有限值1,在工程实际中存在；单位冲激信号用面积（强度）表示，是面积为1的窄脉冲，T趋近于1时，幅度为无穷，在实际工程中并不存在。单位序列不是单位冲激函数抽样获得。
单位阶跃序列在k>=0时的每个k对应的值定义为1，它可以看做是无数个单位脉冲序列之和;单位阶跃信号是在t=0时发生跃变，与单位冲激信号是微分积分关系。单位阶跃序列与单位序列是和差的关系。
除单位序列，其他离散时间信号都是在连续信号的基础上进行取样形成，连续信号可以看做离散信号的包络。区别在于连续信号在时间上连续，离散信号只在一些离散的瞬间给出函数值，其他时间没有定义。
① 都不是奇异信号，奇异信号或者非奇异信号是针对连续信号而言的，在离散信号中，没有奇异信号这一概念。
②余弦序列不一定为周期信号，复指数序列也不一定为周期信号。正弦序列的周期性判定如下。而复指数信号可以根据欧拉公式写为正余弦序列，当对应的正余弦序列不是周期信号时，这个复指数序列也就不是周期信号了。
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③假如连续信号的一个特征根为λ ，则它的齐次解为Ce^λt 的形式；假如离散序列的一个特征根为α，则它的齐次解为Cα^k的形式。表达成这两种不同的形式是为了在求解微分方程、差分方程时能够表示出不同的特性。

2、判断序列的周期性

根据上一个问题得到的结论，求解习题1.5。
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3、差分方程与微分方程对比

举例说明如何由差分方程得出其特征方程。差分方程的齐次解（自由响应）和特征根之间是什么关系，这种关系与微分方程的齐次解与特征根的关系有何区别？重点对比讨论两种系统自由响应模态的幅度、频率与特征根的关系。

差分方程:3y(k)-4y(k-1)+y(k-2)=f(k)
特征方程:3λ^2-4λ+1=0
差分方程齐次解和特征根之间关系：
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微分方程齐次解和特征根之间关系：

关系：差分/微分方程的齐次解对应于系统的固有响应。特征方程的每一个根对应于固有响应的一个模态，所有特征根所对应模态之和即为系统总的固有响应。
区别：
差分:
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微分：

4、特征根于自由响应模态

如果将离散LTI系统差分方程的特征根表示为复数平面上的点。则根据上一题的结论讨论：①特征根处于复平面什么范围，当k趋近于∞时，系统的自由响应模态幅度是收敛的？②特征根分别为正实数和负实数（即分别在正实轴和负实轴上）时，其自由响应模态的特点有什么不同？③当特征根处于复平面什么范围时，系统的自由响应是一种振荡模态？振荡模态的频率取决于什么？最大振荡频率为多少？

①特征根是λ^k的形式，当特征根在半径为1的圆域内时，系统的自由响应模态幅度是收敛的。
②特征根为正实数时是单调的，特征根为负实数时自由响应模态正负交替变化，是振荡的。
③除了正实轴以外，复平面内其他区域，自由响应都是振荡模态。振荡频率取决于相角，最大振荡频率为π。