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数据科学与计算机学院

目录

• 数学干货之不等式
  
  • 均值不等式
  • 幂平均不等式
  • 柯西不等式
  • 琴生不等式
• 证明不等式的小策略
  
  • 函数法
  • “暴力”
  • 积分法
  • 数学归纳法
• 水货-大学感想

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一、各类不等式

1.均值不等式

平方平均数$\geq$算术平均数$\geq$几何平均数$\geq$调和平均数
就是这样子：
$\sqrt {\sum a^2_n \over n}\geq{\sum a_n \over n}\geq{\sqrt[n]{\prod a_n}}\geq{n \over {\sum{1 \over a_n}}}$

2.幂平均不等式

设$a_1,a_2 \cdots a_n>0$
有${\sqrt[n]{\sum a_n^n \over n}}\geq\cdots\geq \sqrt[3]{\sum a_n^3 \over n}\geq{\sqrt{\sum a_n^2 \over n}}\geq{\sum a_n \over n}$

3.柯西不等式

对于实数$a_1,a_2,\cdots a_n以及b_1,b_2,\cdots b_n$，有$(\sum a_n^2)(\sum b_n^2)\geq(\sum a_nb_n)^2$
等号当且仅当${a_1 \over b_1}={a_2 \over b_2}=\cdots={a_n \over b _n}$时成立。
柯西不等式常用来去分母，去根号，去平方等。

4.琴生不等式

对于凸函数f(x),我们有${{\sum f(x_n)} \over n}\geq f({{\sum x_n} \over {n}})$
对于凹函数，不等式反向。等号当且仅当$x_1=x_2=\cdots =x_n$时取得。
其中满足二阶导数$f^"(x)\geq 0$ 的函数称为凸函数，反之称为凹函数。

二、证明不等式的小策略

1.函数法

例：在三角形ABC中，证明sinA+sinB+sinC$\leq {3\sqrt{3} \over {2}}$
证明：设f(x)=sinx
在[0,$180^。$]内，$f^"(x)=-sinx\leq 0$
由琴生不等式，${{f(A)+f(B)+f(C)} \over {3}} \leq f({{A+B+C} \over3})=f(60^。)$
即sinA+sinB+sinC$\leq{{3\sqrt{3}}\over 3}$
联系琴生不等式，构造函数即可。

2.”暴力“

已知a,b,c>0,证明：$\sum{a^2 \over{(a+b)(a+c)}} \geq {3 \over 4}$
证明：即证$4\sum a^2(b+c)$$\geq \prod (a+b)$1
即证$4\sum a^2b\geq 3\sum (a^2b+2abc)$
即证$\sum a^2b \geq 6abc$
由均值不等式即知成立。
熟练运用累加和累积符号，记忆一些常见展开式。

3.积分法

设原不等式是f(x)从a到b逐一累加。一般的，我们有，
若函数f(x)在[a-1,b-1]上单调递增，
则$\int_{a-1}^b f(x)dx$<原不等式<$\int_{a}^{b+1}f(x)dx$
若函数f(x)在[a-1,b-1]上单调递减，
则$\int_a^{b+1}f(x)dx$<原不等式<$\int_{a-1}^bf(x)dx$
根据积分求法而来，使用时画画图即可。

4.数学归纳法

关于自然数n的不等式，以及n个字母的不等式，可以考虑数学归纳法。

三、大学感想

哎呀我去，终于敲完了那一堆代码似的东西，现在来水一水。我把博客的名字定义为Grom-Hellscream是为了纪念我的高三。肯定有很多人认识他。回想高三，每天的状态是这样的：

很丑但是很疯狂，每天极其充实，每个人都在朝着自己的梦想奋斗，那种充实感迄今难忘。经历了一次坑爹高考之后我傻傻地进入了大学。然后发现一件可怕的事：浪永远有代价，它不会像高中一样通过一次考试来使你惊醒，而是，要你慢性偿还，待你惊醒时却早已为时已晚。所以，大学最难。它不会给你那种完美的环境简单的目标任你追求，它只会给你大把可以自由支配的时间并附带无数浪费掉它们的方式。好在——世界其实不大，只要一直向前。

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