向量外积及其解释

1.向量的外积定义

向量的外积也叫叉积。

外积的定义也有两个，如下：

假设在三维空间中（向量的叉积只能定义在三维空间中，如二维、三维），两个向量 $\overrightarrow{a}=(a_{x},a_{y},a_{z})$ , $\overrightarrow{b}=(b_{x},b_{y},b_{z})$ ，则

1） $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=(\left \| a \right \|\left \| b \right \|sin\theta)n_{0}$ ，其中 $n_{0}$ 是垂直与 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 所组成平面的单位法向量

2） $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ = $(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})$

与向量的内积一样，为啥会有两种定义？如何验证这两种定义所给定的不同计算方式最终结果是一致的？

下面我们从几何和物理的角度分别求证一下。

2.向量外积的几何解释

我们先从二维平面开始。

上图中向量 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ 构成的三角形 $\Delta OAB$ ，其面积等于图示平行四边形面积的一半。

接下来我们将向量 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ 进行平移，如下图所示：

通过图中的移动方式，我们将三角形 $\Delta OAB$ 的面积转换为四边形 $A^{'}B^{'}AB$ 的面积

$S_{A'B'AB}=S_{OB'A}-S_{OA'B}$

其中，原本的 $A=(a_{x},a_{y})$ ，B= $(b_{x},b_{y})$ ，我们将初始条件带入面积公式中，可以求得

$S_{A'B'AB}=S_{OB'A}-S_{OA'B}=1/2(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})=1/2(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$

即可得

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}$

而通常求取平行四边形面积的时候，如下图：

平行四边形的面积等于： $\left \| \overrightarrow{OA} \right \|\left \| \overrightarrow{OB} \right \|sin\theta$

所以平行四边形面积 $a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}=\left \| \overrightarrow{OA} \right \|\left \| \overrightarrow{OB} \right \|sin\theta$

接着，我们扩展到三维空间中。

在向量叉乘的定义公式中 $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ = $(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})$ ，所得结果在z轴上的分量是 $a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}$ ，表明外积z轴方向上的分量是由向量a和b在xoy平面上的分量计算出来的。那这个分量怎么计算？

观察上图，三维空间中向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 在xoy平面的分量是 $(a_{x},a_{y})$ 和 $(b_{x},b_{y})$ ，依据上一步二维空间向量外积的计算公式，就等于 $a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}$ 。也就是说，三维空间向量 $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ 在z轴上的值就是向量a和b在xoy平面上二维投影分量的外积值。

相同的，x轴对应着向量a和b在zoy平面上的分量，y轴对应着向量a和b在xoz平面上的分量。

那么在三维空间中，

我们如何证明 $\left \| a \right \|\left \| b \right \|sin\theta$ 的值等于向量 $(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})$ )的值?

简单地讲，与上一篇博客证明向量的内积的方法一样，将向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的相交组成的平面作为x0y所在的平面，并其中任意的一个向量作为x轴，我们以以向量 $\overrightarrow{a}$ 作为x轴，这样我们就降维，又重新回到了前面证明的二维平面上了。

从几何角度上验证了向量外积两种定义的一致性。

3.向量外积的物理解释

力矩等于力臂和力的乘积，其中有效部分力臂与力的方向要垂直。

上图中力矩 $M=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}=\overrightarrow{r_{x}}\times \overrightarrow{F_{y}}+\overrightarrow{r_{y}}\times \overrightarrow{F_{x}}$