点积

数量积即点积。

定义

在数学中，数量积（dot product; scalar product，也称为标量积、点积、点乘）是接受在实数R上的两个矢量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

两个矢量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为：

a·b=a1b1+a2b2+……+anbn

使用矩阵乘法并把（纵列）矢量当作n×1 矩阵，点积还可以写为：

a·b=a^T*b，这里的a^T指示矩阵a的转置。

点积的值由以下三个值确定：u的大小、v的大小、u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度；如果为零，那么u,v垂直；如果为正，那么u,v形成的角为锐角。

点积

点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机

向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。运算律

1.交换律：α·β=β·α　2.分配律：(α+β)·γ=α·γ+β·γ　3.若λ为数：(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ)　若λ、μ为数：：(λα)·(μβ)=λμ(α·β)　4.α·α=|α|^2 ，此外：α·α=0〈=〉α=0。　向量的数量积不满足消去律，即一般情况下：α·β=α·γ，α≠0 ≠〉β=γ。　向量的数量积不满足结合律，即一般（α·β)·γ ≠〉α·（β·γ）　相互垂直的两向量数量积为0

坐标表示

已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则有a·b=x1x2+y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

应用

平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念，利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等　如证明勾股定理：　Rt△ABC中，∠C=90°，则

|CA|^2+|CB|^2=|AB|^2：　因AB = CB-CA，

所以AB·AB =（CB-CA）·（CB-CA）= CB·CB-2CA·CB+CA·CA;　由∠C=90°，有CA⊥BD，于是CA·CB=0　所以AB·AB=AC·AC+CB·CB　菱形对角线相互垂直：　菱形ABCD中,点O为对角线AC、BD的交点，求证AC⊥BD　设|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a　因AC=AB+BC;BD=BC+CD

所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α ）　又因为cosα=-cosπ-α

所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α ）=0　AC⊥B

在生产生活中，点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。物理中，点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一，此方法还被用于动画渲染（Animation-Rendering）。

向量积

向量积也被称为矢量积、叉积（即交叉乘积）、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量垂直。

定义

两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。向量积可以被定义为：

|向量a×向量b|=|a||b|sinθ在这里θ表示两向量之间的角夹角（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。

这个定义有一个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于和：若满足垂直的条件，那么也满足。

一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。

向量积|c|=|a×b|=|a| |b|sin<a,b>

即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。

c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手规则从a转向b来确定。

a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k,为了帮助记忆，利用三阶行列式，写成

| i j k|

|ax ay az|

|bx by bz|

b×a= -a×b右手规则

三角形ABC的面积=1/2*abs(AB×AC)

性质

几何意义

叉积的长度 |a×b| 可以解释成以a和b为邻边的平行四边形的面积。

混合积 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。

代数规则

反交换律：

a×b= -b×a

加法的分配律：

a× (b+c) =a×b+a×c

与标量乘法兼容：

(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)

不满足结合律，但满足雅可比恒等式：

a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0

分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。

两个非零向量 a 和 b 平行，当且仅当a×b=0

拉格朗日公式

这是一个著名的公式，而且非常有用：

a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),

证明过程如下：

二重向量叉乘化简公式及证明

可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。

这里给出一个和梯度相关的一个情形：

这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。

另一个有用的拉格朗日恒等式是：

这是一个在四元数代数中范数乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。

矩阵形式

给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：

i×j=k；

j×k=i ；

k×i=j ；

通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k

b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ;

则

a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]

上述等式可以写成矩阵的行列式的形式：

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述 i，j，k 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量 [a1, a2, a3] 表示成四元数 a1i + a2j + a3k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。