能量估计

设 $(x_0,t_0)$ 为上半平面 $Q$ 内任意点，通过这点向下做两条特征线 $x=x_0\pm a(t_0-t)$ ，这两条特征线与 $x$ 轴围成的三角形区域称为以 $(x_0,t_0)$ 为顶点的特征锥，记为 $K$ 。可知 $u$ 在 $(x_0,t_0)$ 点的值只依赖于 $\phi ,\psi$ 在依赖区间 $[x_0-a{t}_0,x_0+a{t}_0]$ 上的值以及 $f$ 在 $K$ 上的值。即 $u$ 在 $(x_0,t_0)$ 点的值由 $\phi ,\psi ,f$ 在 $K$ 上的值唯一确定。

可以对这个论断给出一个不依赖于解的表达式的直接证明，即能量不等式。

定理（能量不等式） 设 $u\in C^1(\bar{Q})\cap C^2(Q)$ 是定解问题(2.1)的解，则有估计
$$\begin{gathered} {\int }_{{\Omega }_{\tau }}[u_t^2(x,\tau )+a^2{u}_x^2(x.\tau )]dx \\ \le M[{\int }_{{\Omega }_0}({\psi }^2+a^2{\phi }_x^2)dx+{\iint }_{K_{\tau }}{f}^2(x,t)dxdt],\text{\hspace{1em}(0.1)} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} {\iint }_{K_{\tau }}[u_t^2(x,t)+a^2{u}_x^2(x,t)]dxdt \\ \le M[{\int }_{{\Omega }_0}({\psi }^2+a^2{\phi }_x^2)dx+{\iint }_{K_{\tau }}{f}^2(x,t)dxdt].\text{\hspace{1em}(0.2)} \end{gathered}$$

其中
0 ≤ τ ≤ t 0 , K τ = K ∩ { 0 ≤ t ≤ τ } , Ω τ = K ∩ { t = τ } = ( x 0 − a ( t 0 − τ ) , x 0 + a ( t 0 − τ ) ) , M = e t 0 0\le \tau\le t_0,\\K_\tau =K\cap\{0\le t\le \tau\},\\\Omega_\tau=K\cap\{t=\tau\}=(x_0-a(t_0-\tau),x_0+a(t_0-\tau)),\\M=e^{t_0} 0≤τ≤t0​,Kτ​=K∩{0≤t≤τ},Ωτ​=K∩{t=τ}=(x0​−a(t0​−τ),x0​+a(t0​−τ)),M=et0​

Proof

Step1 在波动方程两边同乘 $\frac{\partial u}{\partial t}$ 并且在 $K_{\tau }$ 上积分，得到
$${\iint }_{K_{\tau }}\frac{\partial u}{\partial t}\left[\right(\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\left)\right]udxdt={\iint }_{K_{\tau }}\frac{\partial u}{\partial t}fdxdt\text{\hspace{1em}(1)}$$
Step2 计算上式左端积分
$$\begin{gathered} u_t{u}_{tt}=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}(u_t{)}^2, \\ {u}_t{u}_{xx}=\frac{\partial }{\partial x}(u_t{u}_x)-\frac{\partial }{\partial x}(u_t)u_x=\frac{\partial }{\partial x}(u_t{u}_x)-\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}(u_x{)}^2. \end{gathered}$$
带入（1）式，得到
$${\iint }_{K_{\tau }}\left\{\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}\right[(u_t{)}^2+a^2(u_x{)}^2]-a^2\frac{\partial }{\partial x}(u_t{u}_x)\}dxdt={\iint }_{K_{\tau }}{u}_{t}fdxdt\text{\hspace{1em}(2)}$$
将等式左端记为 $J$ ，利用 Green 公式
$${\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial t})dxdt={\oint }_{\partial D}Pdx+Qdt$$
有
$$\begin{gathered} J=-{\oint }_{\partial K_{\tau }}\left\{\frac{1}{2}\right[(u_t{)}^2+a^2(u_x{)}^2]dx+a^2(u_t{u}_x)dt\}, \\ \partial K_{\tau }={\Omega }_{\tau }+{\Gamma }_{\tau 1}+{\Omega }_0+{\Gamma }_{\tau 2}, \\ u(x,0)=\phi (x), \\ {u}_t(x,0)=\psi (x). \end{gathered}$$
如图，有
$$\begin{gathered} J=\frac{1}{2}{\int }_{{\Omega }_{\tau }}[(u_t{)}^2+a^2(u_x{)}^2]dx \\ -\frac{1}{2}{\int }_{{\Omega }_0}({\psi }^2+a^2{\phi }_x^2)dx \\ -{\int }_{{\Gamma }_{\tau 1}\cup {\Gamma }_{\tau 2}}\left\{\frac{1}{2}\right[(u_t{)}^2+a^2(u_x{)}^2]dx+a^2(u_t{u}_x)dt\} \\ =J_1+J_2+J_3.\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$
Step3 利用 ${\Gamma }_{\tau 1},{\Gamma }_{\tau 2}$ 的具体表达式证明 $J_3$ 非负。

事实上，在 ${\Gamma }_{\tau 1}$ 上 $dx=adt$ ，${\Gamma }_{\tau 2}$ 上 $dx=-adt$ ，从而
$$J_3=-\frac{a}{2}{\int }_{{\Gamma }_{\tau 1}}(u_t+a{u}_x{)}^{2}dt+\frac{a}{2}{\int }_{{\Gamma }_{\tau 2}}(u_t-a{u}_x{)}^{2}dt$$
注意到沿着 $\partial K_{\tau }$ 的逆时针方向，在 ${\Gamma }_{\tau 1}$ 上 $dt$ 为负，${\Gamma }_{\tau 2}$ 上为正，故
$$J_3\ge 0\text{\hspace{1em}(4)}$$
将（3），（4）带入（2）得到
$${\int }_{{\Omega }_{\tau }}[(u_t{)}^2+a^2(u_x{)}^2]dx\le {\int }_{{\Omega }_0}({\psi }^2+a^2{\phi }_x^2)dx+2{\iint }_{K_{\tau }}{u}_{t}fdxdt.\text{\hspace{1em}(5)}$$
Step4 根据不等式 $2ab\le a^2+b^2$ 将（5）式最后一项化为
$$2{\iint }_{K_{\tau }}{u}_{t}fdxdt\le {\iint }_{K_{\tau }}(u_t{)}^{2}dxdt+{\iint }_{K_{\tau }}{f}^{2}dxdt$$
带入不等式（5）得到
$${\int }_{{\Omega }_{\tau }}[(u_t{)}^2+a^2(u_x{)}^2]dx\le {\int }_{{\Omega }_0}({\psi }^2+a^2{\phi }_x^2)dx+{\iint }_{K_{\tau }}(u_t{)}^{2}dxdt+{\iint }_{K_{\tau }}{f}^{2}dxdt\text{\hspace{1em}(6)}$$
Step5 首先由 Gronwall 不等式

$G(\tau )$ 是非负函数且在 $[0,T]$ 上连续可微，$G(0)=0$ ，且对 $\tau \in [0,T]$ 有
$$\frac{dG(\tau )}{d\tau }\le CG(\tau )+F(\tau )\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
其中 $C>0$ 为常数，$F(\tau )$ 是 $[0,T]$ 上不减的非负可积函数，则
$$\begin{gathered} \frac{dG(\tau )}{d\tau }\le e^{C_{\tau }}F(\tau ), \\ G(\tau )\le C^{-1}(e^{C_{\tau }}-1)F(\tau )\text{\hspace{1em}(1.2,1.3)} \end{gathered}$$

令
$$\begin{gathered} G(\tau )={\iint }_{K_{\tau }}[(u_t{)}^2+a^2(u_x{)}^2]dxdt \\ ={\int }_0^{\tau }dt{\int }_{x_0-a(t_0-t)}^{x_0+a(t_0-t)}[(u_t{)}^2+a^2(u_x{)}^2]dx \\ F(\tau )={\int }_{{\Omega }_0}({\psi }^2+a^2{\phi }_x^2)dx+{\iint }_{K_{\tau }}{f}^{2}dxdt \end{gathered}$$
由式（6）可以得到不等式
$$\frac{dG(\tau )}{d\tau }\le G(\tau )+F(\tau )$$
根据 Gronwall 不等式得到
$$\begin{gathered} \frac{dG(\tau )}{d\tau }\le e^{C_{\tau }}F(\tau ) \\ G(\tau )\le C^{-1}(e^{C_{\tau }}-1)F(\tau ) \end{gathered}$$
将 $e^{C_{\tau }},C^{-1}(e^{C_{\tau }}-1)$ 分别记为 $M$ 即得到能量估计（0.1），（0.2）。定理得证。

对于弦振动问题，$\frac{1}{2}\rho u_t^{2}dx$ 表示弦元素 $dx$ 在 $t$ 时刻所具有的动能，$\frac{T}{2}{u}_x^{2}dx$ 表示弦元素 $dx$ 在 $t$ 时刻所具有的应变能（又称势能），因此不计常数因子，表达式 ${\int }_{{\Omega }_{\tau }}(u_t^2+a^2{u}_x^2)dx$ 表示弦段 ${\Omega }_{\tau }$ 在 $\tau$ 时刻所具有的总能量。数学上称之为能量积分 。上述定理给出了波动方程的初值问题 ${\partial }_t^{2}u-a^2{\partial }_x^{2}u=f$ 的解 $u$ 的能量模估计。