该博客为个人学习清风建模的学习笔记，代码全部摘自清风老师，部分课程可以在B站：【强烈推荐】清风：数学建模算法、编程和写作培训的视频课程以及Matlab等软件教学_哔哩哔哩_bilibili
目录
1概述
1.1什么是数学规划
1.2数学规划的一般形式
1.3数学规划的分类
1.3.1线性规划
1.3.2非线性规划
1.3.3整数规划
1.3.40-1规划
2线性规划问题的求解
2.1MATLAB中线性规划的标准型
2.2基础例题
2.3MATLAB中求解线性规划的命令
3线性规划的典型例题
3.1生产决策问题
3.2投料问题
4非线性规划问题的求解
4.1MATLAB中非线性规划的标准型
4.2基础例题
4.3MATLAB中求解非线性规划的命令
5非线性规划的典型例题
5.1选址问题
5.2飞行管理问题（国赛95年A题）
6整数规划
6.1MATLAB中线性整数规划求解
6.2MATLAB中线性0-1规划求解
6.3基础例题
7整数规划的典型例题
7.1背包问题
7.2指派问题
7.3钢管切割问题
8最大最小化模型
8.1模型的一般形式
8.2典型例题
8.3模型的求解
9多目标规划模型
9.1求解思路
9.2典型例题
| 名称 | 重要性 | 难度 |
| 数学规划模型 | ★★★★★ | ★★★★ |
1概述
1.1什么是数学规划
数学规划是运筹学的一个分支,其用来研究:在给定的条件下(约束条件),如何按照某一衡量指标(目标函数)来寻求什划、管理工作中的最优方案。一>求目标函数在一定约束系件下的极值问问题
例子:数学高考试卷中的线性规划大题
1.2数学规划的一般形式
1.3数学规划的分类
1.3.1线性规划
1.3.2非线性规划
1.3.3整数规划
1.3.40-1规划
2线性规划问题的求解
2.1MATLAB中线性规划的标准型
2.2基础例题
%% Matlab求解线性规划
% [x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb,ub, x0)
% c是目标函数的系数向量，A是不等式约束Ax<=b的系数矩阵，b是不等式约束Ax<=b的常数项
% Aeq是等式约束Aeq x=beq的系数矩阵，beq是等式约束Aeq x=beq的常数项
% lb是X的下限，ub是X的上限，X是向量[x1,x2,...xn]' , 即决策变量。
% 迭代的初始值为x0（一般不用给）
% 更多该函数的用法说明请看讲义%% 例题1
c = [-5 -4 -6]'; % 加单引号表示转置
% c = [-5 -4 -6]; % 写成行向量也是可以的，不过不推荐，我们按照标准型来写看起来比较正规
A = [1 -1 1;3 2 4;3 2 0];
b = [20 42 30]';
lb = [0 0 0]';
[x fval] = linprog(c, A, b, [], [], lb) % ub我们直接不写，则意味着没有上界的约束
% x =
% 0
% 15.0000
% 3.0000
%
% fval =
% -78%% 例题2
c = [0.04 0.15 0.1 0.125]';
A = [-0.03 -0.3 0 -0.15;0.14 0 0 0.07];
b = [-32 42]';
Aeq = [0.05 0 0.2 0.1];
beq = 24;
lb = [0 0 0 0]';
[x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb)
% x =
% 0
% 106.6667
% 120.0000
% 0
%
% fval =
% 28% 这个题可能有多个解，即有多个x可以使得目标函数的最小值为28（不同的Matlab版本可能得到的x的值不同，但最后的最小值一定是28）
% 例如我们更改一个限定条件：令x1要大于0（注意Matlab中线性规划的标准型要求的不等式约束的符号是小于等于0）
% x1 >0 等价于 -x1 < 0，那么给定 -x1 <= -0.1 (根据实际问题可以给一个略小于0的数-0.1)，这样能将小于号转换为小于等于号，满足Matlab的标准型
c = [0.04 0.15 0.1 0.125]';
A = [-0.03 -0.3 0 -0.15;0.14 0 0 0.07-1 0 0 0];
b = [-32 42 -0.1]';
Aeq = [0.05 0 0.2 0.1];
beq = 24;
lb = [0 0 0 0]';
[x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb)
% x =
% 0.1000
% 106.6567
% 119.9750
% 0
%
% fval =
% 28.0000%% 例题3
c = [-2 -3 5]';
A = [-2 5 -1;1 3 1];
b = [-10 12];
Aeq = ones(1,3);
beq = 7;
lb = zeros(3,1);
[x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb)
fval = -fval % 注意这个fval要取负号（原来是求最大值，我们添加负号变成了最小值问题）
% x =
% 6.4286
% 0.5714
% 0
% fval =
% -14.5714
% fval =
% 14.5714%% 多个解的情况
% 例如 ： min z = x1 + x2 s.t. x1 + x2 >= 10
c = [1 1]';
A = [-1 -1];
b = -10;
[x fval] = linprog(c, A, b) % Aeq, beq, lb和ub我们都没写，意味着没有等式约束和上下界约束
% x有多个解时，Matlab会给我们返回其中的一个解%% 不存在解的情况
% 例如 ： min z = x1 + x2 s.t. x1 + x2 = 10 、 x1 + 2*x2 <= 8、 x1 >=0 ，x2 >=0
c = [1 1]';
A = [1 2];
b = 8;
Aeq = [1 1];
beq = 10;
lb = [0 0]';
[x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb) % Linprog stopped because no point satisfies the constraints.（没有任何一个点满足约束条件）2.3MATLAB中求解线性规划的命令
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeg,beg,lb,up,x0)
x:向量[x1,x2,...xn]' , 即决策变量
fval:最小值
c:目标函数的系数向量
A:不等式约束Ax<=b的系数矩阵
b:不等式约束Ax<=b的常数项
Aeq:等式约束Aeq x=beq的系数矩阵beq:等式约束Aeq x=beq的常数项
lb:X的下限ub:X的上限
x0:迭代的初始值(一般不用给）
3线性规划的典型例题
3.1生产决策问题
%% 生产决策问题
clc
clear
format long g %可以将Matlab的计算结果显示为一般的长数字格式（默认会保留四位小数，或使用科学计数法）
% (1) 系数向量
c = zeros(9,1); % 初始化目标函数的系数向量全为0
c(1) = 1.25 -0.25 -300/6000*5; % x1前面的系数是c1
c(2) = 1.25 -0.25 -321/10000*7;
c(3) = -250 / 4000 * 6;
c(4) = -783/7000*4;
c(5) = -200/4000 * 7;
c(6) = -300/6000*10;
c(7) = -321 / 10000 * 9;
c(8) = 2-0.35-250/4000*8;
c(9) = 2.8-0.5-321/10000*12-783/7000*11;
c = -c; % 我们求的是最大值，所以这里需要改变符号
% (2) 不等式约束
A = zeros(5,9);
A(1,1) = 5; A(1,6) = 10;
A(2,2) = 7; A(2,7) = 9; A(2,9) = 12;
A(3,3) = 6; A(3,8) = 8;
A(4,4) = 4; A(4,9) = 11;
A(5,5) = 7;
b = [6000 10000 4000 7000 4000]';
% (3) 等式约束
Aeq = [1 1 -1 -1 -1 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 1 -1 0];
beq = [0 0]';
%（4）上下界
lb = zeros(9,1);% 进行求解
[x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb)
fval = -fval
% fval =
% 1146.56650246305
% 注意，本题应该是一个整数规划的例子，我们在后面的整数规划部分再来重新求解。
intcon = 1:9;
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb)
fval = -fval
3.2投料问题
%% 投料问题
clear,clc
format long g %可以将Matlab的计算结果显示为一般的长数字格式（默认会保留四位小数，或使用科学计数法）
% (1) 系数向量
a=[1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25]; % 工地的横坐标
b=[1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.25]; % 工地的纵坐标
x = [5 2]; % 料场的横坐标
y = [1 7]; % 料场的纵坐标
c = []; % 初始化用来保存工地和料场距离的向量 (这个向量就是我们的系数向量）
for j =1:2for i = 1:6c = [c; sqrt( (a(i)-x(j))^2 + (b(i)-y(j))^2)]; % 每循环一次就在c的末尾插入新的元素end
end
% (2) 不等式约束
A =zeros(2,12);
A(1,1:6) = 1;
A(2,7:12) = 1;
b = [20,20]';
% (3) 等式约束
Aeq = zeros(6,12);
for i = 1:6Aeq(i,i) = 1; Aeq(i,i+6) = 1;
end
% Aeq = [eye(6),eye(6)] % 两个单位矩阵横着拼起来
beq = [3 5 4 7 6 11]'; % 每个工地的日需求量
%（4）上下界
lb = zeros(12,1);% 进行求解
[x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb)
x = reshape(x,6,2) % 将x变为6行2列便于观察（reshape函数是按照列的顺序进行转换的，也就是第一列读完，读第二列，即x1对应x_1,1，x2对应x_2,1）% fval =
% 135.2815417906764非线性规划问题的求解
4.1MATLAB中非线性规划的标准型
4.2基础例题
%% 例题1的求解
% max f(x) = x1^2 +x2^2 -x1*x2 -2x1 -5x2
% s.t. -(x1-1)^2 +x2 >= 0 ; 2x1-3x2+6 >= 0
x0 = [0 0]; %任意给定一个初始值
A = [-2 3]; b = 6;
[x,fval] = fmincon(@fun1,x0,A,b,[],[],[],[],@nonlfun1) % 注意 fun1.m文件和nonlfun1.m文件都必须在当前文件夹目录下
fval = -fval
% 一个值得讨论的地方，能不能把线性不等式约束Ax <= b也写到nonlfun1函数中？
% 先把nonlfun1中的c改为下面这样：
% c = [(x(1)-1)^2-x(2);
% -2*x(1)+3*x(2)-6];
% [x,fval] = fmincon(@fun1,x0,[],[],[],[],[],[],@nonlfun1)
% 结果也是可以计算出来的，但并不推荐这样做~function f = fun1(x)% 注意：这里的f实际上就是目标函数，函数的返回值也是f% 输入值x实际上就是决策变量，由x1和x2组成的向量% fun1是函数名称，到时候会被fmincon函数调用, 可以任意取名% 保存的m文件和函数名称得一致，也要为fun1.m
% max f(x) = x1^2 +x2^2 -x1*x2 -2x1 -5x2f = -x(1)^2-x(2)^2 +x(1)*x(2)+2*x(1)+5*x(2) ;
endfunction [c,ceq] = nonlfun1(x)% 注意：这里的c实际上就是非线性不等式约束，ceq实际上就是非线性等式约束% 输入值x实际上就是决策变量，由x1和x2组成的一个向量% 返回值有两个，一个是非线性不等式约束c，一个是非线性等式约束ceq% nonlfun1是函数名称，到时候会被fmincon函数调用, 可以任意取名，但不能和目标函数fun1重名% 保存的m文件和函数名称得一致，也要为nonlfun1.m
% -(x1-1)^2 +x2 >= 0 c = [(x(1)-1)^2-x(2)]; % 千万別写成了: (x1-1)^2 -x2ceq = []; % 不存在非线性等式约束，所以用[]表示
end
%% 例题二的求解
x0 = [1 1 1]; %任意给定一个初始值
lb = [0 0 0]; % 决策变量的下界
[x,fval] = fmincon(@fun2,x0,[],[],[],[],lb,[],@nonlfun2) % 注意 fun2.m文件和nonfun2.m文件都必须在当前文件夹目录下
% x =
% 0.552167405729277 1.20325915507969 0.947824046150443
% fval =
% 10.6510918606939function f = fun2(x)% f = x(1)^2+x(2)^2 +x(3)^2+8 ; f = sum(x.*x) + 8; % 可别忘了x实际上是一个向量，我们可以使用矩阵的运算符号对其计算
endfunction [c,ceq] = nonlfun2(x)% 非线性不等式约束c = [-x(1)^2+x(2)-x(3)^2; % 一定要注意写法的规范，再次强调这里的x是一个向量！不能把x(1)写成x1x(1)+x(2)^2+x(3)^2-20];% 非线性等式约束ceq = [-x(1)-x(2)^2+2;x(2)+2*x(3)^2-3];
end
%% 例题三的求解(蒙特卡罗模拟那一讲的例题)
clear;clc
% 蒙特卡罗模拟得到的最大值为3445.6014
% 最大值处x1 x2 x3的取值为：
% 22.5823101903968 12.5823101903968 12.1265223966757
A = [1 -2 -2; 1 2 2]; b = [0 72];
x0 = [ 22.58 12.58 12.13];
Aeq = [1 -1 0]; beq = 10;
lb = [-inf 10 -inf]; ub = [inf 20 inf];
[x,fval] = fmincon(@fun3,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,[]) % 注意没有非线性约束，所以这里可以用[]替代，或者干脆不写
fval = -fvalfunction f = fun3(x)f = -prod(x); % 可别忘了x实际上是一个向量（prod表示连乘符号，用法和sum类似）
end4.3MATLAB中求解非线性规划的命令
[x,fval]=fmincon(@fun,x0,A,b,Aeg,beg,lb,up,@nonlfun,option)
x:向量[x1,x2,...xn]' , 即决策变量
fval:最小值
fun:目标函数
x0:迭代的初始值(一般不用给）
A:不等式约束Ax<=b的系数矩阵
b:不等式约束Ax<=b的常数项
Aeq:等式约束Aeq x=beq的系数矩阵beq:等式约束Aeq x=beq的常数项
lb:X的下限ub:X的上限
nonlfun:非线性部分约束
option：算法选择
%% 使用其他算法对例题1求解
% edit fmincon % 查看fmincon的“源代码”
% Matlab2017a默认使用的算法是'interior-point' 内点法
% 使用interior point算法 （内点法）
option = optimoptions('fmincon','Algorithm','interior-point')
[x,fval] = fmincon(@fun1,x0,A,b,[],[],[],[],@nonlfun1,option)
fval = -fval
% 使用SQP算法 （序列二次规划法）
option = optimoptions('fmincon','Algorithm','sqp')
[x,fval] = fmincon(@fun1,x0,A,b,[],[],[],[],@nonlfun1,option)
fval = -fval %得到-4.358，远远大于内点法得到的-1,猜想是初始值的影响
% 改变初始值试试
x0 = [1 1]; %任意给定一个初始值
[x,fval] = fmincon(@fun1,x0,A,b,[],[],[],[],@nonlfun1,option) % 最小值为-1，和内点法相同（这说明内点法的适应性要好）
fval = -fval
% 使用active set算法 （有效集法）
option = optimoptions('fmincon','Algorithm','active-set')
[x,fval] = fmincon(@fun1,x0,A,b,[],[],[],[],@nonlfun1,option)
fval = -fval
% 使用trust region reflective (信赖域反射算法)
option = optimoptions('fmincon','Algorithm','trust-region-reflective')
[x,fval] = fmincon(@fun1,x0,A,b,[],[],[],[],@nonlfun1,option)
fval = -fval 5非线性规划的典型例题
5.1选址问题
5.2飞行管理问题（国赛95年A题）
6整数规划
6.1MATLAB中线性整数规划求解
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeg,beg,lb,up)
x:向量[x1,x2,...xn]' , 即决策变量
fval:最小值
c:目标函数的系数向量
intcon:指定决策变量为整数
A:不等式约束Ax<=b的系数矩阵
b:不等式约束Ax<=b的常数项
Aeq:等式约束Aeq x=beq的系数矩阵beq:等式约束Aeq x=beq的常数项
lb:X的下限ub:X的上限
6.2MATLAB中线性0-1规划求解
6.3基础例题
%% 例1
c=[-20,-10]';
intcon=[1,2]; % x1和x2限定为整数
A=[5,4;2,5];
b=[24;13];
lb=zeros(2,1);
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb)
fval = -fval
%% 例2
c=[18,23,5]';
intcon=3; % x3限定为整数
A=[107,500,0;72,121,65;-107,-500,0;-72,-121,-65];
b=[50000;2250;-500;-2000];
lb=zeros(3,1);
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb)
%% 例3
c=[-3;-2;-1]; intcon=3; % x3限定为整数
A=ones(1,3); b=7;
Aeq=[4 2 1]; beq=12;
lb=zeros(3,1); ub=[+inf;+inf;1]; %x(3)为0-1变量
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
7整数规划的典型例题
7.1背包问题
%% 背包问题（货车运送货物的问题）
c = -[540 200 180 350 60 150 280 450 320 120]; % 目标函数的系数矩阵(最大化问题记得加负号)
intcon=[1:10]; % 整数变量的位置(一共10个决策变量，均为0-1整数变量)
A = [6 3 4 5 1 2 3 5 4 2]; b = 30; % 线性不等式约束的系数矩阵和常数项向量（物品的重量不能超过30）
Aeq = []; beq =[]; % 不存在线性等式约束
lb = zeros(10,1); % 约束变量的范围下限
ub = ones(10,1); % 约束变量的范围上限
%最后调用intlinprog()函数
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
fval = -fval
7.2指派问题
%% 指派问题（选择队员去进行游泳接力比赛）
clear;clc
c = [66.8 75.6 87 58.6 57.2 66 66.4 53 78 67.8 84.6 59.4 70 74.2 69.6 57.2 67.4 71 83.8 62.4]'; % 目标函数的系数矩阵（先列后行的写法）
intcon = [1:20]; % 整数变量的位置(一共20个决策变量，均为0-1整数变量)
% 线性不等式约束的系数矩阵和常数项向量（每个人只能入选四种泳姿之一，一共五个约束）
A = [1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1];
% A = zeros(5,20);
% for i = 1:5
% A(i, (4*i-3): 4*i) = 1;
% end
b = [1;1;1;1;1];
% 线性等式约束的系数矩阵和常数项向量 （每种泳姿有且仅有一人参加，一共四个约束）
Aeq = [1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0;0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0;0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0;0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1];
% Aeq = [eye(4),eye(4),eye(4),eye(4),eye(4)]; % 或者写成 repmat(eye(4),1,5)
beq = [1;1;1;1];
lb = zeros(20,1); % 约束变量的范围下限
ub = ones(20,1); % 约束变量的范围上限
%最后调用intlinprog()函数
[x,fval] = intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
% reshape(x,4,5)'
% 0 0 0 1 甲自由泳
% 1 0 0 0 乙蝶泳
% 0 1 0 0 丙仰泳
% 0 0 1 0 丁蛙泳
% 0 0 0 0 戊不参加
7.3钢管切割问题
%% 钢管切割问题
%% (1)枚举法找出同一个原材料上所有的切割方法
for i = 0: 2 % 2.9m长的圆钢的数量for j = 0: 3 % 2.1m长的圆钢的数量for k = 0:6 % 1m长的圆钢的数量if 2.9*i+2.1*j+1*k >= 6 && 2.9*i+2.1*j+1*k <= 6.9disp([i, j, k])endendend
end
% 有同学使用比较老的MATLAB版本，会出现浮点数计算的误差
% 只需要将上面的if这一行进行适当的放缩即可。
% if 2.9*i+2.1*j+1*k >= 6-0.0000001 && 2.9*i+2.1*j+1*k <= 6.9+0.0000001
% 有兴趣的同学可以百度下：浮点数计算误差%% (2) 线性整数规划问题的求解
c = ones(7,1); % 目标函数的系数矩阵
intcon=[1:7]; % 整数变量的位置(一共7个决策变量，均为整数变量)
A = -[1 2 0 0 0 0 1; 0 0 3 2 1 0 1;4 1 0 2 4 6 1]; % 线性不等式约束的系数矩阵
b = -[100 100 100]'; % 线性不等式约束的常数项向量
lb = zeros(7,1); % 约束变量的范围下限
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb)8最大最小化模型
8.1模型的一般形式
8.2典型例题
%% 最大最小化模型 : min{max[f1,f2,···,fm]}
x0 = [6, 6]; % 给定初始值
lb = [3, 4]; % 决策变量的下界
ub = [8, 10]; % 决策变量的上界
[x,feval] = fminimax(@Fun,x0,[],[],[],[],lb,ub)
max(feval)
% x =
% 8.0000 8.5000
% feval =
% 13.5000 5.5000 5.5000 12.5000 8.5000 8.5000 5.5000 13.5000 9.5000 0.5000
% 结论：
% 在坐标为(8,8.5)处建立供应中心可以使该点到各需求点的最大距离最小，最小的最大距离为13.5单位。function f = Fun(x)a=[1 4 3 5 9 12 6 20 17 8];b=[2 10 8 18 1 4 5 10 8 9];% 函数向量f=zeros(10,1);for i = 1:10f(i) = abs(x(1)-a(i))+abs(x(2)-b(i)); end
% f(1) = abs(x(1)-a(1))+abs(x(2)-b(1));
% f(2) = abs(x(1)-a(2))+abs(x(2)-b(2));
% f(3) = abs(x(1)-a(3))+abs(x(2)-b(3));
% f(4) = abs(x(1)-a(4))+abs(x(2)-b(4));
% f(5) = abs(x(1)-a(5))+abs(x(2)-b(5));
% f(6) = abs(x(1)-a(6))+abs(x(2)-b(6));
% f(7) = abs(x(1)-a(7))+abs(x(2)-b(7));
% f(8) = abs(x(1)-a(8))+abs(x(2)-b(8));
% f(9) = abs(x(1)-a(9))+abs(x(2)-b(9));
% f(10) = abs(x(1)-a(10))+abs(x(2)-b(10));
end 8.3模型的求解
[x,fval]=fminimax(@fun,x0,A,b,Aeg,beg,lb,up,@nonlfun,option)
x:向量[x1,x2,...xn]' , 即决策变量
fval:最小值
fun:目标函数
x0:迭代的初始值(一般不用给）
A:不等式约束Ax<=b的系数矩阵
b:不等式约束Ax<=b的常数项
Aeq:等式约束Aeq x=beq的系数矩阵beq:等式约束Aeq x=beq的常数项
lb:X的下限ub:X的上限
nonlfun:非线性部分约束
option：算法选择
9多目标规划模型
9.1求解思路
主要将多目标的规划模型根据权重变成单目标规划模型。
9.2典型例题
%% 多目标规划问题
w1 = 0.4; w2 = 0.6; % 两个目标函数的权重 x1 = 5 x2 = 2
w1 = 0.5; w2 = 0.5; % 两个目标函数的权重 x1 = 5 x2 = 2
w1 = 0.3; w2 = 0.7; % 两个目标函数的权重 x1 = 1 x2 = 6
c = [w1/30*2+w2/2*0.4 ;w1/30*5+w2/2*0.3]; % 线性规划目标函数的系数
A = [-1 -1]; b = -7; % 不等式约束
lb = [0 0]'; ub = [5 6]'; % 上下界
[x,fval] = linprog(c,A,b,[],[],lb,ub)
f1 = 2*x(1)+5*x(2)
f2 = 0.4*x(1) + 0.3*x(2)%% 敏感性分析
clear;clc
W1 = 0.1:0.001:0.5; W2 = 1- W1;
n =length(W1);
F1 = zeros(n,1); F2 = zeros(n,1); X1 = zeros(n,1); X2 = zeros(n,1); FVAL = zeros(n,1);
A = [-1 -1]; b = -7; % 不等式约束
lb = [0 0]; ub = [5 6]; % 上下界
for i = 1:nw1 = W1(i); w2 = W2(i);c = [w1/30*2+w2/2*0.4 ;w1/30*5+w2/2*0.3]; % 线性规划目标函数的系数[x,fval] = linprog(c,A,b,[],[],lb,ub);F1(i) = 2*x(1)+5*x(2);F2(i) = 0.4*x(1) + 0.3*x(2);X1(i) = x(1);X2(i) = x(2);FVAL(i) = fval;
end% 「Matlab」“LaTex字符汇总”讲解：https://blog.csdn.net/Robot_Starscream/article/details/89386748
% 在图上可以加上数据游标，按住Alt加鼠标左键可以设置多个数据游标出来。
figure(1)
plot(W1,F1,W1,F2)
xlabel('f_{1}的权重')
ylabel('f_{1}和f_{2}的取值')
legend('f_{1}','f_{2}')figure(2)
plot(W1,X1,W1,X2)
xlabel('f_{1}的权重')
ylabel('x_{1}和x_{2}的取值')
legend('x_{1}','x_{2}')figure(3)
plot(W1,FVAL) % 看起来是两个直线组合起来的下半部分
xlabel('f_{1}的权重')
ylabel('综合指标的值')
![[GYCTF2020]FlaskApp (pin码，jinja2绕过注入）](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/59e01e83ed654d1389e3e9a488ce6b81.png)
