6、校验码
1、码距
码距：就单个编码 A: 00 而言，其码距为 1，因为其只需要改变一位就变成另一个编码。**在两个编码中，从 A 码到 B 码转换所需要改变的位数成为码距，**如 A: 00 要转换为 B: 11，码距为2。一般来说，码距越大，越利于纠错和检错。
2、奇偶校验码
奇偶校验码：在编码中**增加1位校验位来使编码中1的个数为奇数（奇校验）或者偶数（偶校验），从而使码距变为2。**例如：
奇校验：编码中，含有奇数个1，发送给接收方，接收方收到后，会计算收到的编码有多少个1，如果是奇数个，则无误，是偶数个，则有误。
偶校验同理，只是编码中有偶数个1，由上述，奇偶校验只能检1位错，并且无法纠错。
比如：101110， 有 4 个 1
编码 A：101110，现在有 4 个 1
那么，编码 A 使用 奇校验，因为现在编码 A 有偶数个1，所以需要加个 1 =》 1011101，这样就是奇数个1了。
编码A使用偶校验，因为现在编码 A 有偶数个 1，所以只需要加个 0 =》 1011100，这样就还是偶数个1了。
####3、CRC 校验码
CRC只能检错，不能纠错。使用 CRC 编码，需要先约定一个生成多项式G(x)。生成多项式的最高位和最低位必须是1。假设原始信息由 m 位，则对应多项式 M(x)。生成校验码思想就是在原始信息位后追加若干个校验位，使得追加的信息能被G(x)整除。接收方接收到带校验位的信息，然后用 G(x)整除。余数为0，则没有错误，反之则发生错误。
例：假设原始信息串为 10110，CRC 的生成多项式为 G(x) = x4 + x + 1，求 CRC 校验码。
（1）**在原始信息位后面添0，假设生成多项式的阶为 r，则在原始信息位后添加 r 个 0，**本题中，G(x) 阶为 4，则在原始信息串后添加 4 个 0，得到的新串为 101100000，作为被除数。
（2）**由多项式得到除数，多项中x 的幂指数存在的位置1，不存在的位置0。**本题中，x的幂指数为0,1,4的变量都存在，而幂指数为2,3的不存在，因此得到串10011。
G(x) = x4 + x + 1 可以写成：G(x) = 1 * x4 + 0 * x3 + 0 * x2 + 1 * x1 + 1 * x0
所以：幂指数0,1,4 存在，2,3 不存在
即将 G(x) = 1 * x4 + 0 * x3 + 0 * x2 + 1 * x1 + 1 * x0 多项式中的 1、0 按序组合起来即可：10011
幂指数是数学中幂运算的一个组成部分，指的是乘方的次数。如 23中，2是底数，3是指数，意味着 3 个 2 相乘的结果是 8。
（3）生成CRC校验码，将前两步得出的被除数和除数进行模2除法运算（即不进位也不借位的除法运算）。除法过程如下图所示：模2运算，即异或运算，即 同 0 非 1，即两个数 位 相同 则为 0，不相同则为 1.
除数 10011
被除数 101100000
求余数：
得到余数 1111
注意：余数不足 r，则余数左边用若干个0补齐。如求得余数为11，r = 4，则补 2个0得到 0011。
（4）**生成最终发送信息串，将余数添加到原始信息后。**上例中，原始信息位 10110，添加余数 1111 后，结果为 10110 1111。发送方将此数据发送给接收方。
（5）**接收方进行校验。**接收方的 CRC 校验过程与生成过程类似，**接收方接收了带校验和的帧后，用多项式 G(x)来除（即用得到的结果 10110 1111 除以 10011）。**余数为0（因为第（4）部已经将余数加上去了，所以为0），则表示信息无错；否则要求发送方进行重传。
注意：收发信息双方需使用相同的生成多项式。
总结：
1、根据多项式的最高阶数 n（如xn），则在原始信息后补上 n 个 0，如原始信息位 1100，n为3，则被除数为 1100 000
2、根据多项式 G(x) = x3 + x + 1得到除数 如 1011
3、相除并进行模2运算 1100 0000 % 1011 = 10，得到的余数必须是 n 位，不够的在左侧补0，直至是 n 位，这里 余数是 10，只有两位，补0后，余数为 010.
4、原始信息位 1100 和 余数 010 组合：1100010 即为其 CRC 编码。
3、海明码
海明码：本质也是利用奇偶性来检错和纠错的校验方法，构成方法是在数据位之间的确定位置上插入 k 个校验位，通过扩大码距实现检错和纠错。设数据位是n位，校验位是k位，则 n 和 k 必须满足以下关系：2k-1 >= n + k。
例：求信息 1011 的海明码。
1、校验位的位数和具体的数据位的位数之间的关系
**所有位都是编号，从最低位编号，从1开始递增，校验位处于2的n（n = 0,1,2…）次方中，即处于1,2,4,8,16,32，…位上，**其余位才能填充真正的数据位，若信息数据位1011，则可知，第1,2,4位为校验位，3,5,6,7位为数据位，用来从低位开始存放1011，得出信息为何校验位分布如下：
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 位数 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| I4 | I3 | I2 | I1 | 信息位 | |||
| r2 | r1 | r0 | 校验位 |
1011 为 4 位，校验位处于 1,2,4,8,16,32，…
则只需要 4 + 3（3个校验位），即第1位、第2位、第4位，不需要到第8位，因为 4 + 3 满足 小于 8了，即总共7位就够了。
同理 10位数，需要4位校验位，即第1位，第2位，第4位，第8位，不需要到第16位，因为 10 + 4 已经小于16了，即总共14位就够了。
2、计算校验码
将**所有信息位的编号都拆分成二进制表示，**如下图所示：
上图中，7=4+2+1，表示7由第4位校验位（r2）和第2位校验位（r1）和第1位校验位（r0）共同校验，同理，第6位数据位6=4+2，第5位数据位5=4+1，第3位数据位3=2+1，前面知道，这些2的n次方都是校验位，可知，第4位校验位校验第7 6 5 三位数据位，因此，第4位校验位r2等于这三位数据位的值异或，第2位和第1位校验位计算原理同上。
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 位数 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| I4 | I3 | I2 | I1 | 信息位 | |||
| r2 | r1 | r0 | 校验位 |
计算出三个校验位后，可知最终要发送的海明校验码为1010101
原数据为1011，因为
第7位 为数据位 I4：
7 = 22 + 21 + 20
第6位 为数据位 I3：
6 = 22 + 21
第5位 为数据位 I2：
5 = 22 + 20
第3位 为数据位 I1：
3 = 21 + 20
第4位 为校验位r2
因此只要 第7、6、5、3 数据位的位数包含 4 的 ，则 r2 就校验这些位。
可以看到 7、6、5 都包含 22 即 4，所以 r2 校验位用来校验第7、6、5 的数据位，即 r2 用来校验 I4、I3、I2；
同理，第2位校验位为 r1，则包含 2 的 有：7、6、3，因为 7、6、3 都有 21，即 r1用来校验 I4、 I3、 I1
同理，第1位校验位为 r0，则包含 0的有：7、5、3，因为7、5、3都有20，即 r0 用来校验 I4、 I2、 I1
已知数据位I4、 I3、 I2、 I1（1011），已知校验位校验的数据位，则只需要根据对应的数据位进行 异或运算即可，即：
异或的运算法则为：0⊕0=0，1⊕0=1，0⊕1=1，1⊕1=0（同为0，异为1）
r2 = I4⊕I3⊕I2 = 1⊕0⊕1 = 0
r1 = I4⊕I3⊕I1 = 1⊕0⊕1 = 0
r0 = I4⊕I2⊕I1 = 1⊕1⊕1 = 1
所以海明校验码为：I4I3 I2r2I1r1r0 = 1010101
3、检错和纠错原理
接收方收到海明码之后，会将每一位校验位与其校验的位数分别异或，即做如下三组运算：
如果是偶校验，那么运算得到的结果应该全为0，如果是奇校验，应该全为1，才是正确。假设是偶校验，且接收到的数据为1011101（第四位出错），此时，运算的结果为：
这里不全位0，表明传输过程有误，并且按照r2r1r0排列为二进制100，这里指出的就是错误的位数，表示第100，即第4位出错，找到了出错位，纠错方法就是将该位逆转。
考点在于：设数据位是n位，校验位是k位，则 n 和 k 必须满足以下关系：2k-1 >= n + k。
32 + 6 (1,2,4,8,16,32) = 38，到不了第7位校验位（64），因为38 < 64.
所以32为至少主要6个校验位
D5 第10位，10 = 23 + 21 = 8 + 2，所以 D5 由P4P2校验。
