第五章：变换矩阵

本文是《从0开始图形学》笔记的第五章，初步介绍变换矩阵的作用和求解方式，通过本章内容，我们将掌握模型的旋转和移动。

矩阵的初认识

图形学自然避不开矩阵，矩阵为点坐标的变换提供了一个优雅简洁的处理方案。简单来说，使用矩阵可以对物体的坐标进行旋转和移动提供统一的计算方式。

矩阵的乘法运算法则如下图所示，以图形学用的最多的是4x4的矩阵为例

已知矩阵M和N，其乘积为R，则R的第m行第n列元素为M第m行和N中第n列的乘积，例如：

上面的公式可通过以下直观的感受一下

所以，这就必然要求矩阵M的列数和矩阵N的行数要一致，否则无法相乘！那矩阵又是如何作用于点坐标的呢？我们把点坐标中的x,y,z数值排列，并在后面补上1凑成一个4行1列的矩阵，那么使用矩阵左乘它则可以得到一个新的坐表[x1,y1,z1]！

好吧，我已经迫不及待的想展示矩阵的魔力了

首先，定义一个矩阵，这个矩阵的来源将在后面讲到

float matrix[16] =
{0.707107, 0, -0.707107, 131.802,0, 1, 0, 0,0.707107, 0, 0.707107, -318.198,0, 0, 0, 1
};

然后，在读入点数据的时候将每个点用矩阵进行旋转

for (int i = 0; i < _ptNum; ++i)
{iF >> _pts[i * 3 + 0] >> _pts[i * 3 + 1] >> _pts[i * 3 + 2];// 对点坐标进行旋转MatrixMultiplyPoint(matrix, &_pts[i * 3]);
}

其中的MatrixMultiplyPoint函数中的运算过程就是上述介绍的矩阵乘法

void MatrixMultiplyPoint(float* m, float* p)
{float x, y, z;x = m[0] * p[0] + m[1] * p[1] + m[2] * p[2] + m[3];y = m[4] * p[0] + m[5] * p[1] + m[6] * p[2] + m[7];z = m[8] * p[0] + m[9] * p[1] + m[10] * p[2] + m[11];//p[0] = x;p[1] = y;p[2] = z;
}

效果如下图

我们将模型如愿的进行了旋转！而这一操作仅仅用了16个数而已。

矩阵详解和求法

现在我们已经了解了矩阵的强大，那么要如何求一个矩阵呢？

（1）矩阵的基础拆分

矩阵可以拆分两种常用的基本作用：围绕坐标轴旋转和移动，而实现这两个基本作用的数据分别位于矩阵中的不同部分，如下图所示，红色框内为旋转作用，蓝色框内为移动作用。

两种矩阵的特点有：

（1）两个矩阵最后一行固定为[0 0 0 1]；

（2）单围绕坐标轴旋转作用的矩阵中蓝色框部分都为0；

（3）单移动作用的矩阵中红色框部分固定为单位阵；

如下图，左边为单围绕坐标轴旋转的矩阵，右边为单移动的矩阵

只要有这两种矩阵，那么就可以通过矩阵的乘法不断地累加效果，比如，我要先移动物体，其矩阵为M1，再旋转物体，其矩阵为M2，那么这两个操作的结果为M2xM1（注意：顺序不能颠倒），由前面的讲解我们可以知道M2xM1得到的还是一个4x4的矩阵！因此，我们就可以无穷无尽的进行不断地操作，只要将每次的操作矩阵左乘上当前矩阵即可，最终还是一个4x4的矩阵！所以任何复杂的操作都可以拆成多个上述的两种基础矩阵，再进行累乘得到对应的矩阵。

（2）基础矩阵的求法

那么如何求解这两类基础矩阵呢？这里我们提供一个结果，不展开详细的求解。单围绕坐标轴旋转的矩阵可根据其围绕x轴，y轴，z轴分为3种，依次如下图（假设旋转角度为 $\alpha$ ）

单移动矩阵更简单，假设要对一个模型在三个轴方向上移动(x, y, z)，那么它的矩阵就是

这里有一个注意点是刚接触矩阵的人很容易搞不清楚的，矩阵的所有旋转都是以坐标系原点为轴点的，如果想要模型绕着自身的某个坐标（x, y, z）旋转，则需要将模型移动（-x, -y, -z），再旋转，最后再移动（x, y, z）将模型移回原位置！下面我们就以上一节旋转高达模型为例，讲解其矩阵的来源。

第一步：通过遍历所有的点坐标，我们可以知道改模型的中心点大概在（450, 500, 0）的位置上，那么我们就需要将模型移动（-450, -500, 0），将旋转点移到坐标系原点，可得该步骤的矩阵为