三、搜索与图论

DFS

排列数字

在这里插入图片描述

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 10;
int a[N], b[N];
int n;void dfs(int u){if(u > n){for(int i = 1; i <= n; i++)cout<<a[i]<<" ";cout<<endl;return;}for(int i = 1; i <= n; i++){if(!b[i]){b[i] = 1;a[u] = i;dfs(u + 1);b[i] = 0;}}
}int main(){cin>>n;dfs(1);return 0;
}

n-皇后问题

在这里插入图片描述

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 20;
char g[N][N];
int a[N], b[N], c[N];
int n;void dfs(int u){if(u > n){for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= n; j++)cout<<g[i][j];cout<<endl;}cout<<endl;return;}for(int i = 1; i <= n; i++){if(!a[i] && !b[u + i] && !c[-u + i + n]){a[i] = b[u + i] = c[-u + i + n] = 1;g[u][i] = 'Q';dfs(u + 1);g[u][i] = '.';a[i] = b[u + i] = c[-u + i + n] = 0;}}
}int main(){cin>>n;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= n; j++)g[i][j] = '.';dfs(1);return 0;
}

BFS

走迷宫

在这里插入图片描述

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 110;
int g[N][N], d[N][N];
pair<int, int> q[N * N];
int hh, tt = - 1;
int n, m;int dx[] = {0, 0, 1, -1};
int dy[] = {1, -1, 0, 0};void bfs(int x, int y){memset(d, -1, sizeof(d));q[++tt] = make_pair(x, y);d[x][y] = 0;while(hh <= tt){auto t = q[hh++];for(int i = 0; i < 4; i++){int a = dx[i] + t.first, b = dy[i] + t.second;if(a < 1 || a > n || b < 1 || b > m) continue;if(d[a][b] != -1) continue;if(g[a][b] != 0) continue;d[a][b] = d[t.first][t.second] + 1;q[++tt] = make_pair(a, b);}}cout<<d[n][m];
}int main(){cin>>n>>m;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= m; j++)cin>>g[i][j];bfs(1, 1);return 0;
}

八数码

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

#include<iostream>
#include<unordered_map>
using namespace std;
const int N = 1e6; //一共有9!种情况
unordered_map<string, int> d;
string q[N];
int hh, tt = -1;
int n = 9;int dx[] = {0, 0, 1, -1};
int dy[] = {1, -1, 0, 0};int bfs(string s){q[++tt] = s;d[s] = 0;//记录终点string end = "12345678x";while(hh <= tt){string t = q[hh++];//存储当前位置到起点的距离int dis = d[t];//如果到终点了，那就返回距起点距离if(t == end) return dis;//查找x的下标int k = t.find('x');//x在矩阵中的位置int x = k / 3, y = k % 3;for(int i = 0; i < 4; i++){int a = x + dx[i], b = y + dy[i];if(a < 0 || a > 2 || b < 0 || b > 2) continue;//转移xswap(t[k], t[3 * a + b]);//如果没有遍历过，那就存储到队列中if(!d.count(t)){d[t] = dis + 1;q[++tt] = t;}//还原swap(t[k], t[3 * a + b]);}}return -1;
}int main(){char c;string s = "";for(int i = 0; i < n; i++){cin>>c;s += c;}cout<<bfs(s);return 0;
}

树和图的存储

树是一种特殊的图
存储可以用链式向前星或者vector

//链式向前星
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 2 * N;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int st[N];void add(int a, int b){e[idx] = b;ne[idx] = h[a];h[a] = idx;idx++;
}void dfs(int u){st[u] = 1;for(int i = u; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if(!st[j]) dfs(j);}
}int main(){memset(h, -1, sizeof(h));return 0;
}//vector存储
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
vector<int> v[N];
int st[N];void add(int a, int b){v[a].push_back(b);v[b].push_back(a);
}void dfs(int u){st[u] = 1;for(int i = 0; i < v[u].size(); i++){int j = v[u][i];if(!st[j]) dfs(j);}
}int main(){return 0;
}

树与图的深度优先遍历

树的重心

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 2 * N;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int st[N];
int n, ans = 1e9;void add(int a, int b){e[idx] = b;ne[idx] = h[a];h[a] = idx;idx++;
}int dfs(int u){st[u] = 1;//cnt存储以u为根的节点数（包括u），res是删除掉某个节点后的最大连通子图节点数int cnt = 1, res = 0; for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if(!st[j]){//以u为节点的单棵子树的节点数int t = dfs(j);//计算以j为根的树的节点数cnt += t;//记录最大连通子图节点数res = max(res, t);}}//以u为重心，最大的连通子图节点数res = max(res, n - cnt);ans = min(ans, res);return cnt;
}int main(){memset(h, -1, sizeof(h));cin>>n;int a, b;for(int i = 0; i < n - 1; i++){cin>>a>>b;add(a, b);add(b, a);}dfs(1);cout<<ans;return 0;
}

树与图的宽度优先遍历

图中点的层次

在这里插入图片描述

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 2 * N;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int q[N], d[N], hh, tt = -1;
int n, m;void add(int a, int b){e[idx] = b;ne[idx] = h[a];h[a] = idx;idx++;
}void bfs(int u){memset(d, -1, sizeof(d));q[++tt] = u;d[u] = 0;while(hh <= tt){//使用队头，弹出队头int t = q[hh++];for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if(d[j] == -1){//更新距离d[j] = d[t] + 1;//入队q[++tt] = j;}}}cout<<d[n];
}int main(){memset(h, -1, sizeof(h));cin>>n>>m;int x, y;while(m--){cin>>x>>y;add(x, y);}bfs(1);return 0;
}

拓扑排序

有向无环图也是拓扑图
入度：有多少条边指向自己
出度：有多少条边出去

有向图的拓扑序列

在这里插入图片描述
入度为0就是起点，出度为0就是终点

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int q[N], hh, tt = -1;
int n, m;
int r[N]; //存储入度void add(int a, int b){e[idx] = b;ne[idx] = h[a];h[a] = idx;idx++;
}void bfs(){//判断哪些点入度为0for(int i = 1; i <= n; i++)if(!r[i]) q[++tt] = i;while(hh <= tt){int t = q[hh++];for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];r[j]--;if(!r[j]) q[++tt] = j;}}if(tt == n - 1){for(int i = 0; i <= tt; i++) cout<<q[i]<<" ";}else cout<<-1;
}int main(){memset(h, -1, sizeof(h));cin>>n>>m;int x, y;while(m--){cin>>x>>y;add(x, y);r[y]++;}bfs();return 0;
}

最短路

帮助理解
在这里插入图片描述

Dijkstra

Dijkstra求最短路 I

在这里插入图片描述

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 510;
int g[N][N], d[N], b[N];
int n, m;void dijkstra(int u){memset(d, 0x3f, sizeof(d));d[u] = 0;for(int i = 0; i < n; i++){int t = -1;for(int j = 1; j <= n; j++)if(!b[j] && (t == -1 || d[t] > d[j])) t = j;b[t] = 1;for(int j = 1; j <= n; j++)d[j] = min(d[j], d[t] + g[t][j]);}cout<<((d[n] == 0x3f3f3f3f) ? -1 : d[n]);
}int main(){memset(g, 0x3f, sizeof(g));cin>>n>>m;int x, y, z;while(m--){cin>>x>>y>>z;g[x][y] = min(g[x][y], z);}dijkstra(1);return 0;
}

Dijkstra求最短路 II

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int N = 2e5;
int h[N], e[N], ne[N], w[N], idx; //w[i]存储上个点到i的距离
int d[N], b[N];
int n, m;
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> q; //小根堆，第一个元素存储距离，第二个元素存储下标void add(int x, int y, int z){e[idx] = y;w[idx] = z;ne[idx] = h[x];h[x] = idx;idx++;
}void dijkstra(int u){memset(d, 0x3f, sizeof(d));d[u] = 0;q.push(make_pair(0, 1));while(q.size()){auto t = q.top();q.pop();int x = t.first, y = t.second;if(b[y]) continue; //如果遍历过就退出b[y] = 1;for(int i = h[y]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if(d[j] > x + w[i]){d[j] = x + w[i];q.push(make_pair(d[j], j));}}}cout<<(d[n] == 0x3f3f3f3f ? -1 : d[n]);
}int main(){memset(h, -1, sizeof(h));cin>>n>>m;int x, y, z;while(m--){cin>>x>>y>>z;add(x, y, z);}dijkstra(1);return 0;
}

增加点权，求有多少条最短路

题目链接

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int g[505][505], dis[505], st[505];
int a[505], paths[505], teams[505];
int n, m, c1, c2;void dj(int u){teams[u] = a[u];paths[u] = 1;dis[u] = 0;for(int j = 0; j < n; j++){int t = -1;for(int i = 0; i < n; i++){if(!st[i] && (t == -1 || dis[t] > dis[i])){t = i;}}st[t] = 1;for(int i = 0; i < n; i++){if(dis[i] > dis[t] + g[t][i]){dis[i] = dis[t] + g[t][i]; paths[i] = paths[t]; //继承路径条数teams[i] = teams[t] + a[i]; //更新救援队人数}else if(dis[i] == dis[t] + g[t][i]){if(teams[i] < teams[t] + a[i]){teams[i] = teams[t] + a[i]; //选救援队人数更多的} paths[i] += paths[t]; //累加路径条数}}}
}int main(){memset(g, 0x3f, sizeof(g));cin>>n>>m>>c1>>c2;for(int i = 0; i < n; i++) cin>>a[i];while(m--){int x, y, z;cin>>x>>y>>z;g[x][y] = g[y][x] = min(g[x][y], z);}memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));dj(c1);cout<<paths[c2]<<" "<<teams[c2];return 0;
}

增加边权，求花费最少

题目链接

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
int g[505][505], dis[505], st[505];
int cost[505][505], c[505], pre[505];
vector<int> path;
int n, m, s, d;void dj(int u){dis[u] = 0;c[u] = 0;for(int i = 0; i < n; i++){int t = -1;for(int j = 0; j < n; j++){if(!st[j] && (t == -1 || dis[t] > dis[j])){t = j;}}st[t] = 1;for(int j = 0; j < n; j++){if(dis[j] > dis[t] + g[t][j]){pre[j] = t;dis[j] = dis[t] + g[t][j];c[j] = c[t] + cost[t][j];}else if(dis[j] == dis[t] + g[t][j] && c[j] > c[t] + cost[t][j]){pre[j] = t;c[j] = c[t] + cost[t][j];}}}
}int main(){memset(g, 0x3f, sizeof(g));memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));memset(c, 0x3f, sizeof(c));memset(cost, 0x3f, sizeof(cost));cin>>n>>m>>s>>d;while(m--){int x, y, z, h;cin>>x>>y>>z>>h;g[x][y] = g[y][x] = min(g[x][y], z);cost[x][y] = cost[y][x] = min(cost[x][y], h);}for(int i = 0; i < n; i++) pre[i] = i;dj(s);int q = d;while(q != s){path.push_back(q);q = pre[q];}path.push_back(s);int p = path.size();for(int i = p - 1; i >= 0; i--) cout<<path[i]<<" ";cout<<dis[d]<<" "<<c[d];return 0;
}

bellman-ford

有边数限制的最短路

如果负环在1到n的路径上，那就不存在最短路

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 510, M = 1e4 + 10;
int d[N], b[N]; //b数组备份
int n, m, k;
struct E{int x, y, z;
}e[M];void bellman_ford(int u){memset(d, 0x3f, sizeof(d));d[u] = 0;//最多k条边for(int i = 0; i < k; i++){//每次只更新一条串联路径，防止更新了多条串联路径memcpy(b, d, sizeof(d));for(int j = 0; j < m; j++){int x = e[j].x, y = e[j].y, z = e[j].z;d[y] = min(d[y], b[x] + z);}}if(d[n] > 0x3f3f3f3f / 2) cout<<"impossible";else cout<<d[n];
}int main(){cin>>n>>m>>k;int x, y, z;for(int i = 0; i < m; i++){cin>>x>>y>>z;e[i] = {x, y, z};}bellman_ford(1);return 0;
}

spfa

spfa求最短路

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int h[N], e[N], ne[N], w[N], idx;
int dis[N], st[N];
int q[N], hh, tt = -1;
int n, m;void add(int x, int y, int z){e[idx] = y;w[idx] = z;ne[idx] = h[x];h[x] = idx;idx++;
}void spfa(int u){memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));dis[u] = 0;q[++tt] = u;st[u] = 1;while(hh <= tt){int t = q[hh++];//有环，所以可能一个点会遍历两次st[t] = 0;for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if(dis[j] > dis[t] + w[i]){dis[j] = dis[t] + w[i];if(!st[j]){q[++tt] = j;st[j] = 1;}}}}if(dis[n] == 0x3f3f3f3f) cout<<"impossible";else cout<<dis[n];
}int main(){memset(h, -1, sizeof(h));cin>>n>>m;int x, y, z;for(int i = 0; i < m; i++){cin>>x>>y>>z;add(x, y, z);}spfa(1);return 0;
}

spfa判断负环

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 2e3 + 10, M = 1e4 + 10;;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int dis[N], st[N], cnt[N];
int q[N * N], hh, tt = -1; //有环的时候，一个元素可能会一直插入队列，所以要开N * N
int n, m;void add(int x, int y, int z){e[idx] = y;w[idx] = z;ne[idx] = h[x];h[x] = idx;idx++;
}void spfa(){//存在的负权回路，不一定从1开始for(int i = 1; i <= n; i++){q[++tt] = i;st[i] = 1;}while(hh <= tt){int t = q[hh++];//有环，所以可能一个点会遍历两次st[t] = 0;for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if(dis[j] > dis[t] + w[i]){dis[j] = dis[t] + w[i];cnt[j] = cnt[t] + 1;if(cnt[j] >= n){cout<<"Yes";return;}if(!st[j]){q[++tt] = j;st[j] = 1;}}}}cout<<"No";
}int main(){memset(h, -1, sizeof(h));cin>>n>>m;int x, y, z;for(int i = 0; i < m; i++){cin>>x>>y>>z;add(x, y, z);}spfa();return 0;
}

Floyd

Floyd求最短路

f(k, i, j) = f(k - 1, i, k) + f(k - 1, k, j);

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 210;
int f[N][N];
int n, m, k;void floyd(){for(int k = 1; k <= n; k++)for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= n; j++)f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);
}int main(){cin>>n>>m>>k;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= n; j++)if(i == j) f[i][j] = 0;else f[i][j] = 0x3f3f3f3f;int x, y, z;for(int i = 1; i <= m; i++){cin>>x>>y>>z;f[x][y] = min(f[x][y], z);}floyd();for(int i = 1; i <= k; i++){cin>>x>>y;//可能存在负权边if(f[x][y] > 0x3f3f3f3f / 2) cout<<"impossible"<<endl;else cout<<f[x][y]<<endl;}return 0;
}

最小生成树

在这里插入图片描述

Prim

Kruskal

二分图

在这里插入图片描述

染色法判定二分图

匈牙利算法

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我们研究了最近NSA/CISA 联合网络安全咨询&#xff0c;该咨询涉及这些组织在红/蓝团队演习中发现的首要网络安全问题。在本文中&#xff0c;您将更深入地了解特定问题&#xff0c;包括适用的实际场景&#xff0c;以及可用于限制或克服该问题的缓解策略。这扩展了 NSA/CISA 报告…
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C++自幂数判断＜GESP C++ 二级＞

C++自幂数判断＜GESP C++ 二级＞

题目&#xff1a; 代码&#xff1a; #include <iostream> using namespace std; int main() {int m 0;cin >> m;for (int i 0; i < m; i) {int n 0;cin >> n;// 数一下 n 有多少位数&#xff0c;记为 lint t n, l 0;while (t > 0) {t / 10;l;}/…
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boot::process::child::wait_until 线程不安全

boot::process::child::wait_until 线程不安全

最近在项目中需要多线程调用子程序。子程序可能工作时间很长&#xff0c;故用 boost::process::child::wait_until 来实现超时功能。 然而&#xff0c;多线程压力测试时&#xff0c;发现有可能导致 core dump。 经查证&#xff0c;是 boost::process::child::wait_until 的一个…
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Linux中断编程

Linux中断编程

大家好&#xff0c;今天给大家介绍Linux中断编程&#xff0c;文章末尾附有分享大家一个资料包&#xff0c;差不多150多G。里面学习内容、面经、项目都比较新也比较全&#xff01;可进群免费领取。 Linux中断编程涉及到操作系统层面的中断处理机制&#xff0c;它是Linux内核与硬…
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SPSS基础操作：对数据按照样本观测值进行排序

SPSS基础操作：对数据按照样本观测值进行排序

在整理数据资料或者查看分析结果时&#xff0c;我们通常希望样本观测值能够按照某一变量的大小进行升序或者降序排列&#xff0c;比如我们想按照学生的学习成绩进行排序&#xff0c;按照销售额的大小对各个便利店进行排序等。以本章附带的数据4为例&#xff0c;如果要按照y4体重…
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JavaWeb02-MyBatis

JavaWeb02-MyBatis

目录 一、MyBatis 1.概述 2.JavaEE三层架构简单介绍 &#xff08;1&#xff09;表现层 &#xff08;2&#xff09;业务层 &#xff08;3&#xff09;持久层 3.框架 4.优势 &#xff08;1&#xff09;JDBC的劣势 &#xff08;2&#xff09;MyBatis优化 5.使用 &#…
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