一、编程计算

1. 编程计算规则

编程计算优先级：算数运算符（数学运算）$>$ 比较运算符（大于、小于等）$>$ 逻辑运算符（非、与、条件等） $>$ 赋值运算符（+=、-= 等）$>$ , 运算符

2. 编程计算符号

运算符	表示方法
非	$\neg$
与	$\wedge$
或	$\vee$
异或	$\oplus$

3. 特殊计算符号

与运算：从左到右遍历所有的条件，一旦返现一个 0，整个表达式就是 0。

或运算：从左到右遍历所有的条件，一旦发现一个 1，整个表达式就是 1。

所以上述的两种运算都有短路。

二、数学原理

1. 加法原理

加法原理的核心思想：如果一个问题可以分解成互不相交的多个子问题，那么问题的总数目等于各个子问题的数目之和。

2. 乘法原理

乘法原理的核心思想：如果一个过程可以分为 $n$ 个独立的步骤，其中第 $i$ 个步骤有 $m_i$ 种选择方式，那么整个过程的选择方式数目为 $m_1\times m_2\times \cdots \times m_n$。

3. 容斥原理

容斥原理的核心思想：用于计算两个集合的并集的大小，通过减去两个集合的交集的大小来避免重复计算。

4. 排列组合

$n$ 个不同的元素的全排列有 $n!$ 种方式。
$n$ 个不用的元素中要选择 $m$ 个元素进行全排列有 ${\text{A}}_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$ 种方式，也利用了容斥原理。

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$n$ 个不同的元素种要选择 $m$ 个元素不考虑排序有 ${\text{C}}_{n-1}^{m-1}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{{\text{A}}_n^m}{m!}$

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方法：

1. 捆绑法
   当要求两个物品需要相邻的时候，就可以将两个物品看作一个物品，那么总共的种数有（$s$：表示捆绑的物品数）：$1\times s!$。
2. 插空法
   当要求两个物品不能相邻的时候，就可以，那么总共的种数有（$n$：表示总数）：$(n-s)!\times {\text{A}}_{n-1}^s$。
3. 砍刀法
   $n$ 个物品分成 $m$ 组（$n>m$），每个组至少有 $1$ 个物品，那么总共的分法有：$C_n^{m-1}$ 种。
4. 围圈法
   $n$ 个物品围成一个圈，共有 $(n-1)!$ 种围法。
5. 分组法
   $n$ 个物品分成 $x{(}^{个}{/}_{组})$，不同的组队情况有 ${\text{C}}_n^x\times {\text{C}}_{n-x}^x\times 1$
6. 最不利原则
   $n$ 个物品有 $x_1$ 个 $a$ 类型、$x_2$ 个 $b$ 类型、…，那么摸到 $z$ 类型至少需要 $x_1+x_2+\cdots (其他的数量)$ 次摸到。
7. 抽屉原理
   数量最多的抽屉就是 $n$（总数）$÷x$（份数）向上取整。