2024 International Mathematics Molding Contest for Higher Education Problem A: Transportation of Pyramid Stones（2024年国际高校数学建模大赛（IMMCHE）问题A：金字塔石的运输）

金字塔的建造是古埃及文明的杰出成就之一。它们不仅是建筑上的奇迹，也是人类历史和文化的重要遗产。通过研究金字塔，我们可以更好地了解古埃及人的宗教、社会和技术水平。（The construction of pyramids is one of the outstanding achievements of ancientEgyptian civilization. They are not only architectural miracles, but also importantlegacies of human history and culture. By studying the pyramids, we can betterunderstand the religious, social, and technological level of ancient Egyptians.）

金字塔是古埃及法老的坟墓，一些学者认为金字塔具有天文观察、祭祀仪式和食物储存等功能。对来世的信仰和宗教象征是建造金字塔的主要目的。一些学者还认为金字塔是能量的接收器和放大器，可以实现能量的积累和转换，可以用作外星宇宙飞船的加油站。（The pyramid is the tomb of ancient Egyptian pharaohs, and some scholars believethat the pyramid has functions such as astronomical observation, sacrificial rituals, andstorage of food. The belief in afterlife and religious symbols are the main purposes folbuilding pyramids. Some scholars also believe that pyramids are energy receivers andamplifiers that can achieve energy accumulation and conversion, and can be used asrefueling stations for alien spacecraft.）

关于用来建造金字塔的石头是如何运输的，有几种常见的说法：（There are several common statements about how the stones used to build pyramids are transported:）

●水运输理论:古埃及人使用水运输尼罗河的一个系统，用来乘船运送石头到金字塔附近的内陆港口。然后，通过建造运河和水道系统，这些石头被进一步运送到金字塔的建筑工地。该方法可以减少在陆地上运输石块的距离和难度。

●边坡处理:在金字塔外建一个大斜坡，把石头拉上来。建一个斜坡，建一层石头，然后逐渐提升金字塔。然而，这种方法需要大量的人力和时间，而且边坡的施工也存在一定的困难。

●螺旋施工方法:沿着四面墙建造一个螺旋楼梯的形状，一边爬着楼梯，另一边覆盖着顶部。这种方法不需要使用杠杆、棍和起重机等工具，这更符合古埃及人的实际情况。

（Water transportation theory: The ancient Egyptians used the water transportationsystem of the Nile River to transport stones by boat to inland ports near the pyramidsThen, by constructing canals and waterway systems, the stones are furthertransported to the construction site of the pyramid. This method can reduce thedistance and difficulty of transporting stones on land.Slope handling: Build a large slope outside the pyramid and pull the stones up.Build a slope, build a layer of stones, and gradually elevate the pyramid. However.this method requires a lot of manpower and time, and the construction of slopes alsoposes certain difficulties.Spiral construction method: Build a spiral staircase shape along the four walls.with one side climbing the stairs and the other side covering the top. This methoddoes not require the use of tools such as levers, crowbars, and cranes, which is morein line with the actual situation of the ancient Egyptians.）

值得注意的是，这些说法有些争议，金字塔石头的运输方法仍然是一个未解的谜。在金字塔的施工过程中，需要将大量的石块从采石场运到施工现场。假设石头的重量和大小相同，则运输工具为船舶、车厢或外星宇宙飞船，且运输工具的运载能力是有限的。请建立团队运输金字塔石的数学模型，解决以下问题。（It should be noted that these claims are somewhat controversial, and thetransportation method of pyramid stones remains an unsolved mystery. During theconstruction process of the pyramid, a large amount of stones need to be transported fromthe quarry to the construction site. Assuming that the weight and size of the stones are thesame, the transportation vehicle is a ship, carriage, or alien spacecraft, and the carryingcapacity of the transportation vehicle is limited.Please establish a mathematical model for transporting pyramid stones in your teamand solve the following problems.）

问题1:建立数学模型，收集相关数据，以最大的Huff金字塔为例，计算在给定的运输车辆数量和负载能力下，完成石材运输任务所需的最小运输次数。（Question 1: Establish a mathematical model, collect relevant data, and take thelargest Huff pyramid as an example to calculate the minimum number of transportationtimes required to complete the stone transportation task under a given number oftransportation vehicles and load capacity）

为了建立一个有效的数学模型，我们需要考虑金字塔的大小、石块的重量和尺寸、运输工具的负载能力以及运输工具的数量。以胡夫金字塔为例，具体步骤如下：

1. 确定金字塔的基本参数
   胡夫金字塔的基本参数如下：
   （1）基底边长（Base length, L）：230.4米
   （2）高度（Height, H）：146.6米
   （3）金字塔体积（Volume, V）：

（4）金字塔的石块总数（N）：估计约为230万块。

1. 石块参数
   每块石块的平均重量（Weight of each block, Wb）：约2.5吨。
2. 运输工具参数
   假设运输工具有船只和车厢，每个工具的参数如下：
   （1）船只负载能力（Load capacity of each ship, Cs）：100吨。
   （2）车厢负载能力（Load capacity of each wagon, Cw）：5吨。
   （3）船只数量（Number of ships, Ns）：20艘。
   （4）车厢数量（Number of wagons, Nw）：100辆。
3. 运输次数的计算
   我们需要计算运输任务所需的最小运输次数。假设我们用船只从采石场运送石块到金字塔附近的港口，然后用车厢从港口将石块运送到金字塔施工现场。
   4.1 从采石场到港口的运输
   每艘船每次可运输的石块数量为：

总的运输次数为：

4.2 从港口到施工现场的运输
每辆车厢每次可运输的石块数量为：

1. 总运输次数的计算

从采石场到港口的运输和从港口到施工现场的运输可以并行进行，因此我们需要分别计算两段运输所需的时间。

假设每次运输所需的时间为：

（1）船只运输时间（Time for one trip by ship, ts）：1天

（2）车厢运输时间（Time for one trip by wagon, tw）：0.5天

总的运输时间为：

根据模型的计算结果，运输胡夫金字塔石块所需的时间和次数如下：

问题2:考虑不同的运输策略，比如每次运输尽可能多的石头，以及优先运输较长距离的石头。优化并求解问题1中的数学模型。（Question 2:Consider different transportation strategies, such as transporting asmany stones as possible each time and prioritizing the transportation of stones withlonger distances. Optimize and solve the mathematical model in Question 1.）

在第一问题中，我们采用了固定负载能力的船只和车厢运输策略。在这一部分，我们将考虑不同的运输策略，以优化运输过程。具体的优化策略包括：

每次运输尽可能多的石头：最大化每次运输的负载，以减少运输次数。

优先运输较长距离的石头：先运输远距离的石头，减少中途运输的次数。

优化数学模型

1. 确定基础参数
   金字塔的基本参数和石块参数与问题一中相同：
   （1）基底边长（Base length, L）：230.4米
   （2）高度（Height, H）：146.6米
   （3）金字塔体积（Volume, V）：

（4）金字塔的石块总数（N）：估计约为230万块。
运输工具的参数也保持不变：
（1）船只负载能力（Load capacity of each ship, Cs）：100吨。
（2）车厢负载能力（Load capacity of each wagon, Cw）：5吨。
（3）船只数量（Number of ships, Ns）：20艘。
（4）车厢数量（Number of wagons, Nw）：100辆。

1. 优化策略一：每次运输尽可能多的石头
   假设每次运输的负载为最大值，这将减少总运输次数：
   2.1 从采石场到港口的运输
   每艘船每次可运输的石块数量为：

总的运输次数为：

2.2 从港口到施工现场的运输
每辆车厢每次可运输的石块数量为：

总的运输次数为：

1. 优化策略二：优先运输较长距离的石头
   假设从采石场到港口的距离较长，我们先进行这段运输，然后再进行从港口到施工现场的短距离运输：
   3.1 运输时间的调整
   假设每次运输所需的时间为：
   船只运输时间（Time for one trip by ship, ts）：1天
   车厢运输时间（Time for one trip by wagon, tw）：0.5天
   总的运输时间为：

1. 优化模型的实现

通过调整运输策略，我们可以优化运输过程，减少总运输时间和次数。具体步骤如下：

（1）最大化每次运输的负载：

确保每次运输时，运输工具都满载。

使用更大的运输工具或增加运输工具的数量。

（2）优先运输较长距离的石头：

先进行长距离运输，将石块从采石场运送到港口。

然后进行短距离运输，将石块从港口运送到施工现场。

5.具体优化模型详细构建
为了实现上述优化策略，我们可以采用线性规划的方法来进一步优化运输过程。以下是线性规划模型的具体步骤：

（1）定义决策变量：

xs：船只每次运输的石块数量。

xw：车厢每次运输的石块数量。

（2）目标函数：

最小化总运输时间：

（3）约束条件：

问题3:分析问题2中数学模型的敏感性，研究交通车辆数量、负载能力、石块数量等因素对运输次数的影响。（Question 3: Analyze the sensitivity of the mathematical model in Question 2, andstudy the impact of factors such as the number of transportation vehicles, load capacity,and number of stones on the number of transportation times.）

问题4:建立金字塔石的最优运输模型，并基于先前模型的结果，提出一个合理的运输方案，以提高运输效率，降低运输成本。（Question 4:Establish the optimal transportation model for pyramid stones, andbased on the results of the previous model, propose a reasonable transportation plan toimprove transportation efficiency and reduce transportation costs.）

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