2024年国际高校数学建模竞赛问题B：空间迁移计划和战略（2024 International Mathematics Molding Contest for Higher Education (IMMCHE)Problem B: Space Migration Program and Strategy）

我们的未来有两种可能性:第一，我们将留在地球上，直到我们完全灭绝;其次我们决心成为太空旅行者。自1957年苏联发射第一颗人造卫星以来，人类已经成功地将各种卫星、航天器和探测器注入太空，并成功地降落在月球上。科学家预测，人类进入太空已经不远了。对于一个人口为70亿的星球来说，即使是100万移民也只是人口的很小一部分，但它的重要性是如此重要，以至于每个人都应该关注并对此感到兴奋。假设在未来，人类计划进行大规模的行星迁移。有一个目标行星在其环境和资源状况上具有一定程度的独特性。在移民过程中，需要考虑以下因素:（There are two possibilities for our future: first, we will stay on Earth until we arecompletely extinct, Secondly, we are determined to become space travelers. Since thelaunch of the first artificial satellite by the Soviet Union in 1957, humans havesuccessfully launched various satellites, spacecraft, and probes into space, andsuccessfully landed on the moon. Scientists predict that human migration to space is notfar away. For a planet with a population of7 billion, even achieving 1 million immigrantsis only a very small part of the population, but its significance is so significant thateveryone should pay attention to and be excited about it. Assuming that in the future.humans plan to engage in large-scale planetary migration. There is a target planet with acertain degree of uniqueness in its environment and resource situation. During theimmigration process, the following factors need to be considered:）

运输航天器的承载能力是有限的，每个航天器都可以携带一定数量的人员和用品。（The carrying capacity of transport spacecraft is limited, and each spacecraft cancarry a certain number of personnel and supplies.）

在目标星球上有不同类型的资源区域，以及难度而获得不同资源的效率也有所不同。（There are different types of resource areas on the target planet, and the difficulty and efficiency ofobtaining different resources yary）

在移民过程中，会有各种风险，如航天器出现故障和资源短缺。（During the immigration process, there will be various risks, such as spacecraftmalfunctions and resource shortages.）

请为您的团队的太空移民计划和策略建立一个数学模型，以解决以下问题：

问题一：考虑到每个航天器可以携带100人和50个关键物资，在考虑物资的分配时需要多少航天器才能将1000人移民到目标星球?（Question 1: Given that each spacecraft can carry 100 people and 50 units of criticalsupplies, how many spacecraft are needed to immigrate 1000 people to the target planetwhile considering the distribution of supplies?）

随着人类对太空的探索不断深入，未来进行大规模的行星迁移已逐渐成为可能。移民过程中需要考虑到运输航天器的承载能力、目标星球资源区域的特点以及各种潜在的风险。本文将围绕“如何计算所需航天器的数量”这一问题展开，具体分析数学建模的过程。

数学建模的过程

1. 问题描述
   设每个航天器可以携带100人和50个关键物资，我们需要将1000人移民到目标星球，并且每人需要一定数量的物资才能维持基本生活。我们需要计算出所需的航天器数量。
2. 模型假设
   为了简化问题，作出以下假设：
   每个人需要的物资量是相同的，且都在50个关键物资之内。
   每个航天器的承载能力是固定的，即100人和50个关键物资。
   航天器能够安全到达目标星球，中途不考虑航天器故障或其他不可控风险。
3. 数学符号的定义
   N: 总移民人数，本文中 N=1000人。
   P: 每个航天器可以携带的人数，本文中 P=100人。
   S: 每个航天器可以携带的关键物资数量，本文中 S=50个。
   R: 每人所需的关键物资数量，假设每人需要 R=1个物资。
   K: 所需的航天器数量。
4. 具体模型构建
   4.1. 确定总物资需求
   每个人需要R个关键物资，因此，1000人总共需要的物资数量为：

4.2. 航天器的计算
每个航天器可以携带的人员数量和物资数量是固定的。为了将1000人和1000个物资同时运输，我们需要考虑两方面的承载能力。
考虑人员运输：

考虑物资运输：

由此可见，如果只考虑人员，最少需要10架次；但如果只考虑物资，则需要20架次。因此，我们需要综合考虑这两个条件，以确保同时满足人员和物资的需求。
4.3. 综合计算所需航天器数量
为了既满足人员运输又满足物资运输，我们需要保证航天器的总数能够覆盖两个需求。设需要 K架航天器，则 K应该满足以下两个条件：

具体计算：

为了同时满足上述两个条件，取K的最大值：

因此，需要20架航天器才能将1000人及其所需的物资运输到目标星球。

1. 进一步考虑实际情况

在实际操作中，可能会遇到航天器的故障或其他不可控的风险，因此需要留出一定的冗余。假设故障率为f，通常会增加一定的冗余航天器数量以确保安全。设冗余率为r，则实际所需的航天器数量为：

假设冗余率为10%：

问题二:在目标星球上有三个资源区域A、B和C。区域A每天可以获得20单位的资源难度系数为0.8;区域B每天可以获得15单位的资源，难度系数为0.6:区域C每天可以获得10单位的资源，难度系数为0.4。如何安排这些地区移民的工作分配，在一定时间内最大化获得的资源总量?（Question 2: There are three resource regions A, B, and C on the target planetRegion A can obtain 20 units of resources per day with a difficulty coefficient of 0.8.Region B can obtain 15 units of resources per day with a difficulty coefficient of 0.6.Region C can obtain 10 units of resources per day with a difficulty coefficient of 0.4.How to arrange the work allocation of immigrants in these areas to maximize the totalamount of resources obtained within a certain period oftime?）

在目标星球上有三个资源区域A、B和C，它们每天的资源产出和获取资源的难度系数不同。为了在一定时间内最大化资源总量，需要合理安排移民在这三个区域的工作分配。本文将对这一问题进行数学建模，分析如何在给定的时间内优化资源的总获取量。

1. 问题描述
   目标星球上有三个资源区域，各区域的资源产出和难度系数如下：
   区域A：每天可以获得20单位资源，难度系数为0.8。
   区域B：每天可以获得15单位资源，难度系数为0.6。
   区域C：每天可以获得10单位资源，难度系数为0.4。
   假设资源总量与资源产出和难度系数的乘积成正比，即资源总量 = 资源产出 × 难度系数。我们需要安排移民的工作分配，使得在一定时间内资源总量最大化。
2. 模型假设
   每个区域的资源产出和难度系数是固定的，不随时间变化。
   移民可以自由地分配到不同的资源区域，每个区域的移民数量对其他区域没有影响。
   在一定时间内，所有移民总数是固定的。
3. 数学符号的定义
   RA,RB,RC：区域A、B、C的资源产出，分别为20、15、10。
   DA,DB,DC：区域A、B、C的难度系数，分别为0.8、0.6、0.4。
   xA,xB,xC：分配到区域A、B、C的移民人数。
   T：工作时间总天数。
   N：移民总人数。
   G：资源总量。
4. 资源总量的计算
   资源总量G可以表示为各区域资源产出和难度系数的加权和：

1. 约束条件
   移民总人数是固定的，即：

1. 目标函数

我们的目标是最大化资源总量G，因此目标函数可以表示为：

为了找到最优解，我们可以使用线性规划方法求解该优化问题。首先将目标函数简化：

约束条件为：

求解结果：

问题三：在空间迁移过程中，航天器失效的概率为0。1、每次故障都将导致一定数量的人员和物质损失。如何制定风险应对策略，以确保移民计划的顺利进行?（Question 3: During the process of space migration, the probability of spacecraftfailure is 0.1, and each failure will result in a certain number of personnel and materiallosses. How to develop risk response strategies to ensure the smooth progress ofimmigration plans?）

问题四：假设随着时间的推移，目标行星的资源状况和风险因素将会发生变化，如获取资源的难度增加，航天器失败的可能性增加。重新分析问题2和问题3中的策略调整情况。（Ouestion 4: Assuming that over time, the resource situation and risk factors of thetarget planet will change, such as increasing difficulty in obtaining resources andincreasing probability of spacecraft failure. Re-analyze the adjustment of strategies inquestions 2 and 3.）

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