图论理论基础 | 代码随想录

图的基本概念

二维坐标中，多个点连成的线就构成了图。图也可以是一个节点，甚至没有节点（空图）。

图的种类

整体上一般分为有向图和无向图。

有向图是指图中边是有方向的，无向图是指图中边没有方向。

加权有向图，就是图中边是有权值的。

度

无向图中有几条边链接该节点，该节点就有几度。

在有向图中，为了区分边的方向，每个节点有出度和入度。

出度：从该节点出发的边的个数。

入读：指向该节点的边的个数。

连通性

在途中表示节点的连通情况。

连通图

在无向图中，任何两个节点都是可以到达的，称之为连通图。

如果有节点不能到达其他节点，则为非连通图。

强连通图

在有向图中，任何两点是可以互相达到的，成为强连通图。

有向图中要注意边的方向，节点1可以到达节点5，但是节点5不能到节点1。

强连通图是在有向图中任何两个节点都可以互相到达。

下面这个图就是一个强连通图。

连通分量

在无向图中，极大连通子图称为该图的一个连通分量。

节点1、2、5和节点2、4、6分别构成两个子图，这个子图中的所有节点都是相互可达到的。二者都是这个无向图的连通分量。但是节点3、4构成的无向图就不是该无向图的连通分量。（必须是极大连通子图才能构成连通分量）

强连通分量

在有向图中极大连通子图称为该图的强连通分量。

 节点1-5构成强连通分量，但是节点6、7、8不构成强连通分量，因为这不是强连通图，节点8不能到达节点6。

节点1、2、5构成的子图也不是强连通分量，因为这不是极大图。

图的构造

一般使用邻接表、邻接矩阵或者用类来表示。

邻接矩阵

用二维数组来表示。

例如：grid[2][5]=6，表示节点2链接节点5为有向图，节点2指向节点5，边的权值为6。

如果想表示无向图，即：grid[2][5]=6, grid[5][2]=6，表示节点2与节点5相互连通，权值为6。

申请n（节点数）的空间，如果边少、节点多的情况，会导致申请过大的二维数组，造成空间浪费。

寻找节点连接情况的时候，需要遍历整个矩阵，n*n的时间复杂度，造成时间浪费。

邻接矩阵的优点：

• 表达方式简单，易于理解
• 检查任意两个顶点间是否存在边的操作非常快
• 适合稠密图，在边数接近顶点数平方的图中，邻接矩阵是一种空间效率较高的表示方法。

缺点：

• 遇到稀疏图，会导致申请过大的二维数组造成空间浪费 且遍历 边 的时候需要遍历整个n * n矩阵，造成时间浪费

邻接表

邻接表使用数组+链表的方式来表示。邻接表是从边的数量来表示图，有多少边才会申请对应大小的链表。

这里表达的图是：

• 节点1 指向 节点3 和 节点5
• 节点2 指向 节点4、节点3、节点5
• 节点3 指向 节点4
• 节点4指向节点1

邻接表的优点：

• 对于稀疏图的存储，只需要存储边，空间利用率高
• 遍历节点连接情况相对容易

缺点：

• 检查任意两个节点间是否存在边，效率相对低，需要 O(V)时间，V表示某节点连接其他节点的数量。
• 实现相对复杂，不易理解

图的遍历方式

图的遍历方式基本是两大类：

• 深度优先搜索（dfs）
• 广度优先搜索（bfs）

二叉树的递归遍历，是dfs 在二叉树上的遍历方式。

二叉树的层序遍历，是bfs 在二叉树上的遍历方式。

dfs 和 bfs 一种搜索算法，可以在不同的数据结构上进行搜索，在二叉树章节里是在二叉树这样的数据结构上搜索。

而在图论章节，则是在图（邻接表或邻接矩阵）上进行搜索。