三球交汇定理计算标签位置（UWB）

题目

假设标签坐标为(x0,y0)，基站ABCD的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)(x4,y4)，基站坐标已知，如何计算标签坐标？

在这里插入图片描述

三球交汇定理

三球交汇定位（ Three-ball intersection positioning schematic ）是一种基于几何原理的定位方法，通过已知的三个点（基站）和目标到这些点的距离来确定目标的位置。该方法在二维平面上进行，可以扩展到三维空间。题目中有4个基站，根据定理，选择三个基站进行方程计算即可。

计算过程

距离方程：每个基站和标签之间的距离满足以下方程
$\begin{aligned} & \left(x_n-x_0\right)^2+\left(y_n-y_0\right)=r_n^2; 其中n=1,2,3,4 \end{aligned}$
转换方程：展开上述方程并简化，得到以下四个方程
$\begin{aligned} & x_0^2+y_0^2-2 x_0 x_1-2 y_0 y_1+x_1^2+y_1^2=r_1^2 \\ & x_0^2+y_0^2-2 x_0 x_2-2 y_0 y_2+x_2^2+y_2^2=r_2^2 \\ & x_0^2+y_0^2-2 x_0 x_3-2 y_0 y_3+x_3^2+y_3^2=r_3^2 \\ & x_0^2+y_0^2-2 x_0 x_4-2 y_0 y_4+x_4^2+y_4^2=r_4^2~~ \end{aligned}$
作差消元法：通过减去这些方程，消除 $x_0^2+y_0^2$ ，可以得到三个新的线性方程：

$\begin{aligned} & -2 x_0\left(x_1-x_2\right)-2 y_0\left(y_1-y_2\right)=r_1^2-r_2^2+x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2 \\ & -2 x_0\left(x_1-x_3\right)-2 y_0\left(y_1-y_3\right)=r_1^2-r_3^2+x_3^2+y_3^2-x_1^2-y_1^2 \\ & -2 x_0\left(x_1-x_4\right)-2 y_0\left(y_1-y_4\right)=r_1^2-r_4^2+x_4^2+y_4^2-x_1^2-y_1^2 \end{aligned}$

矩阵形式：提取 $x_0$ 和 $y_0$ 作为变量矩阵
$\left[\begin{array}{ll} x_1-x_2 & y_1-y_2 \\ x_1-x_3 & y_1-y_3 \\ x_1-x_4 & y_1-y_4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_0 \\ y_0 \end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{l} r_1^2-r_2^2+x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2 \\ r_1^2-r_3^2+x_3^2+y_3^2-x_1^2-y_1^2 \\ r_1^2-r_4^2+x_4^2+y_4^2-x_1^2-y_1^2 \end{array}\right]$

代码实现

这个代码示例展示了如何通过球交汇定理计算标签的坐标。如果有四个基站数据，通常可以通过最小二乘法得到标签的坐标。

import numpy as npdef calculate_tag_position(x_coords, y_coords, distances):# 基站坐标x1, x2, x3, x4 = x_coordsy1, y2, y3, y4 = y_coordsr1, r2, r3, r4 = distances# 系数矩阵A = np.array([[x1 - x2, y1 - y2],[x1 - x3, y1 - y3],[x1 - x4, y1 - y4]])# 常数项B = 0.5 * np.array([r1**2 - r2**2 + x2**2 + y2**2 - x1**2 - y1**2,r1**2 - r3**2 + x3**2 + y3**2 - x1**2 - y1**2,r1**2 - r4**2 + x4**2 + y4**2 - x1**2 - y1**2])# 解方程 Ax = Bpos, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(A, B, rcond=None)print("\nSolution （解） (pos):", pos)print("Residuals （残差和：无解则返回空数组）:", residuals)print("Rank of A （矩阵A的秩）:", rank)print("Singular values of A （矩阵A奇异值）:", s)return pos# 示例数据
x_coords = [0, 1, 0, 1]
y_coords = [0, 0, 1, 1]
distances = [1.0, 1.414, 1.0, 1.414]#距离# 计算标签坐标
tag_position = calculate_tag_position(x_coords, y_coords, distances)
print(f"标签坐标: (x0, y0) = ({tag_position[0]:.2f}, {tag_position[1]:.2f})")