基于Booth乘法和Wallace树的快速乘法器

为了理解Booth乘法和Wallace数如何让乘法器变得更快：

先考虑不优化的8位乘法器实现，即8个16位数字累积共进行7次加法运算，可以认为一次16位加法用到16个全加器，则共需要112个全加器件，只计算全加器的开销，至少需要112$\times$5=560个门

Booth乘法

Booth乘法的实现依据在于补码乘法可写成以下的形式：

相比起原始乘法器，每次根据y的一位来决定当前是+x/0，补码乘法则需要每次观察y的两位，以决定下一次加法是+x/-x/0，而Booth乘法则每次观察y的三位，以决定下一次加法是+x/+2x/-x/-2x/0

布斯乘法每次观察完后y右移2位，相当于一次完成了2位y的观察。

因此，我们需要进行加法的操作数，也从原来的8个变成了4个

例子

以4位乘法为例来看看布斯乘法如何减少了操作数的数量

如果提升y的判断位数，是否可以进一步提升乘法器的效率？

否，Booth算法的三位判决在硬件实现中是一个平衡点，如果使用更多位数，虽然理论上可以减少生成的x数量，但增加y带来的复杂性可能会抵消这些好处。

我们使用判断3位的布斯乘法，则实际上减半了操作数的数量

原本是8个16位数字累积共进行7次加法运算，需要112个全加器，经由布斯乘法优化，则仅需要4个16位数字进行3次加法，需要48个全加器

Wallace树

Wallcace树基于半加器和全加器进行优化。

我们认为借用16位加法器来计算仅仅4个16位数字实在是太浪费了。因此我们不再横向地整个把16位数字加起来，而是纵向地，每次只考虑4位数字的加法，在本位产生一个数字，并把进位传递给后面的wallace_4模块

如下是wallace_4模块计算的一个例子。其中每个方框代表着一个wallace_4模块，它接受cin作为输入，计算出本位(S)，并把进位©传递给下一位。值得注意的是所有的进位并不只能为1，wallace_4模块会将所有本位处理不了的数字丢给下一个wallace_4

这里必须及时指出，如上图所示的计算过程并不完全准确。实际上，wallace模块不会把所有的进位都传递给下一位，而是如果存在进位，wallace会自己先保留1位，然后剩下的向前传递。原因在我们讲完wallace模块的实现就会知道。

wallace_4实现

如下是wallace_4的实现，输入4位计算数，1位Cin；计算的出本位的1位C和一位S，并将一位进位传递到下一模块

当将共16个wallace_4堆叠起来，就可以执行4个16位数的加法了，计算结果得是两个16位数字：C[15:0]和S[15:0]

因此我们需要16个wallace_4，成本为32个全加器；还需要将C和S相加以得到最终的结果，即一次16位加法，成本仍为48个全加器

为什么采用wallace_4优化得到的成本不变？

因为输入只有4位，太少，导致优化空间不足；wallace树对于器件的优化是log级的，输入越多，优化效果越好。但是我们这里作为例子介绍了wallace树的优化思想，想必读者能够理解了