在 GRU（Gated Recurrent Unit）中，output 和 state 都是由 GRU 层的循环计算产生的，它们之间有直接的关系。state 实际上是 output 中最后一个时间步的隐藏状态。

GRU 的基本公式

GRU 的核心计算包括更新门（update gate）和重置门（reset gate），以及候选隐藏状态（candidate hidden state）。数学表达式如下：

1. 更新门 \( z_t \)： \[ z_t = \sigma(W_z \cdot h_{t-1} + U_z \cdot x_t) \]
      其中，\( \sigma \) 是sigmoid 函数，\( W_z \) 和 \( U_z \) 分别是对应于隐藏状态和输入的权重矩阵，\( h_{t-1} \) 是上一个时间步的隐藏状态，\( x_t \) 是当前时间步的输入。

2. 重置门 \( r_t \)：
      \[ r_t = \sigma(W_r \cdot h_{t-1} + U_r \cdot x_t) \]
      \( W_r \) 和 \( U_r \) 是更新门中定义的相似权重矩阵。

3. 候选隐藏状态 \( \tilde{h}_t \)：
      \[ \tilde{h}_t = \tanh(W \cdot r_t \odot h_{t-1} + U \cdot x_t) \]
      这里，\( \tanh \) 是激活函数，\( \odot \) 表示元素乘法（Hadamard product），\( W \) 和 \( U \) 是隐藏状态的权重矩阵。

4. 最终隐藏状态 \( h_t \)：
      \[ h_t = (1 - z_t) \odot h_{t-1} + z_t \odot \tilde{h}_t \]

output 和 state 的关系

• output：在 GRU 中，output 包含了序列中每个时间步的隐藏状态。具体来说，对于每个时间步 \( t \)，output 的第 \( t \) 个元素就是该时间步的隐藏状态 \( h_t \)。

• state：state 是 GRU 层最后一层的隐藏状态，也就是 output 中最后一个时间步的隐藏状态 \( h_{T-1} \)，其中 \( T \) 是序列的长度。

数学表达式

如果我们用 \( O \) 表示 output，\( S \) 表示 state，\( T \) 表示时间步的总数，那么：

\[ O = [h_0, h_1, ..., h_{T-1}] \]
\[ S = h_{T-1} \]

因此，state 实际上是 output 中最后一个元素，即 \( S = O[T-1] \)。

在 PyTorch 中，output 和 state 都是由 GRU 层的 `forward` 方法计算得到的。`output` 是一个三维张量，包含了序列中每个时间步的隐藏状态，而 `state` 是一个二维张量，仅包含最后一个时间步的隐藏状态。

代码示例

class Seq2SeqEncoder(d2l.Encoder):
"""⽤于序列到序列学习的循环神经⽹络编码器"""def __init__(self, vocab_size, embed_size, num_hiddens, num_layers,
dropout=0, **kwargs):super(Seq2SeqEncoder, self).__init__(**kwargs)# 嵌⼊层self.embedding = nn.Embedding(vocab_size, embed_size)self.rnn = nn.GRU(embed_size, num_hiddens, num_layers,dropout=dropout)def forward(self, X, *args):# 输出'X'的形状：(batch_size,num_steps,embed_size)X = self.embedding(X)# 在循环神经⽹络模型中，第⼀个轴对应于时间步X = X.permute(1, 0, 2)# 如果未提及状态，则默认为0output, state = self.rnn(X)# output的形状:(num_steps,batch_size,num_hiddens)# state的形状:(num_layers,batch_size,num_hiddens)return output, state

output：在完成所有时间步后，最后⼀层的隐状态的输出output是⼀个张量（output由编码器的循环层返回），其形状为（时间步数，批量⼤⼩，隐藏单元数）。

state：最后⼀个时间步的多层隐状态是state的形状是（隐藏层的数量，批量⼤⼩， 隐藏单元的数量）。

GRU的内部实现

上面一节的代码示例，是通过调用API实现的，即self.rnn = nn.GRU(embed_size, num_hiddens, num_layers, dropout=dropout)。那么，GRU内部是如何实现的呢？

分为模型、模型参数初始化和隐状态初始化三个部分：

模型定义（模型定义与数学表示式一致，也可以参考上图）：

def gru(inputs, state, params):W_xz, W_hz, b_z, W_xr, W_hr, b_r, W_xh, W_hh, b_h, W_hq, b_q = paramsH, = stateoutputs = []for X in inputs:Z = torch.sigmoid((X @ W_xz) + (H @ W_hz) + b_z)R = torch.sigmoid((X @ W_xr) + (H @ W_hr) + b_r)H_tilda = torch.tanh((X @ W_xh) + ((R * H) @ W_hh) + b_h)H = Z * H + (1 - Z) * H_tildaY = H @ W_hq + b_qoutputs.append(Y)return torch.cat(outputs, dim=0), (H,)

  模型参数初始化（权重是从标准差0.01的高斯分布中提取的，超参数num_hiddens定义隐藏单元的数量，偏置项设置为0）：

def get_params(vocab_size, num_hiddens, device):num_inputs = num_outputs = vocab_sizedef normal(shape):return torch.randn(size=shape, device=device)*0.01def three():return (normal((num_inputs, num_hiddens)),normal((num_hiddens, num_hiddens)),torch.zeros(num_hiddens, device=device))W_xz, W_hz, b_z = three() # 更新⻔参数W_xr, W_hr, b_r = three() # 重置⻔参数W_xh, W_hh, b_h = three() # 候选隐状态参数
# 输出层参数W_hq = normal((num_hiddens, num_outputs))b_q = torch.zeros(num_outputs, device=device)
# 附加梯度params = [W_xz, W_hz, b_z, W_xr, W_hr, b_r, W_xh, W_hh, b_h, W_hq, b_q]for param in params:param.requires_grad_(True)return params

隐状态初始化函数(此函数返回一个形状为（批量大小，隐藏单元个数）的张量，张量的值都为0

def init_gru_state(batch_size, num_hiddens, device):return (torch.zeros((batch_size, num_hiddens), device=device), )

最后由一个函数统一起来，实现模型：

model = d2l.RNNModelScratch(len(vocab), num_hiddens, device, get_params, init_gru_state, gru)

       总体上说，内部的代码实现与数学表达式一致，在实际使用中，一般是通过调用API来实现，即self.rnn = nn.GRU(embed_size, num_hiddens, num_layers, dropout=dropout)，只需要设定相应的参数即可，免除了重新实现的繁琐，并且类似于pytorch框架中的API还做了计算上的优化，使用起来高效方便。但是，如果需要深入理解GRU的话，那么内部实现的详细代码和计算公式就比较重要，中间的一些过程和变量的意义需要详细关注，只有这样，才能准备把握这个模块的内涵和意义，设计初衷和使用方式等等，所以，仔细研究这个模块的实现还是非常有必要的。对于其他的模块同样如此，只有把各个经典的模块内部原理、实现和计算调用都搞清楚了，才能更好的去设计和利用神经网络，建立内在的直觉和能力。