变限积分函数的求导（被积函数中含上限变量）

​​​​​​一、问题描述

本科阶段学习的变积分上限的函数求导，要求被积分函数中不能包含积分上限函数中的变量，即形式如下

F(x)=\int_{a}^{g(x)}f(t)\mathrm{d}t

对其求导的公式是

F'(x)=f(g(x),t)g'(x)

若是被积分函数中存在变量x，则需要做出一定的变换，如下例

F(x)=\int_{a}^{x}tf(x^2-t^2)\mathrm{d}t

二、解决方法

令u=x^2-t^2，则有\mathrm{d}u=-2t\mathrm{d}t，进一步得到\mathrm{d}t=-\frac{\mathrm{d}u}{2t}，则有

F(x)=\int_{x^2-a^2}^{x^2-x^2}tf(u)\frac{\mathrm{d}}{-2t}=-\frac{1}{2}\int_{x^2-a^2}^{0}f(u)\mathrm{d}u

整理可得

F(x)=\frac{1}{2}\int^{x^2-a^2}_{0}f(u)\mathrm{d}u

对其求导可以沿用本科阶段学过的变积分上限求导方法

F'(x)=\frac{1}{2}f(x^2-a^2)(x^2-a^2)'=xf(x^2-a^2)

三、拓展思路

对下式求导

F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\mathrm{d}t

求导公式为

F'(x)=f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x)

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