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拓扑排序和图的介绍

①力扣207. 课程表

解析代码

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拓扑排序和图的介绍

        拓扑排序简单来说就是找到做事情的先后顺序（拓扑排序的结果可能不是唯一的）。

学习拓扑排序前先简单学习图的基本概念：

 图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G = (V， E)，其中：

• 顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合；
• E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {<x, y>|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫做边的集合。
• (x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的；Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路，即Path(x, y)是有方向的。
• 顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>。
• 有向图和无向图：在有向图中，顶点对<x, y>是有序的，顶点对<x，y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，<x, y>和<y, x>是两条不同的边，比如下图G3和G4为有向图。在无向图中，顶点对(x, y)是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x)是同一条边，比如下图G1和G2为无向图。注意：无向边(x, y)等于有向边<x, y>和<y, x>。

入度和出度

图中的度：所谓顶点的度(degree)，就是指和该顶点相关联的边数。在有向图中，度又分为入度和出度。

• 入度 (in-degree) ：以某顶点为弧头，终止于该顶点的边的数目称为该顶点的入度。
• 出度 (out-degree) ：以某顶点为弧尾，起始于该顶点的弧的数目称为该顶点的出度。

邻接表

        邻接表存储方法跟树的孩子链表示法相类似，是一种顺序分配和链式分配相结合的存储结构。如这个表头结点所对应的顶点存在相邻顶点，则把相邻顶点依次存放于表头结点所指向的单向链表中。

• 在有向图中，描述每个点向别的节点连的边（点a->点b这种情况）。
• 在无向图中，描述每个点所有的边(点a-点b这种情况)

有向图邻接表存储

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下面是拓扑排序的概念：

        一个较大的工程往往被划分成许多子工程，我们把这些子工程称作活动（activity）。在整个工程中，有些子工程（活动）必须在其它有关子工程完成之后才能开始，也就是说，一个子工程的开始是以它的所有前序子工程的结束为先决条件的，但有些子工程没有先决条件，可以安排在任何时间开始。为了形象地反映出整个工程中各个子工程（活动）之间的先后关系，可用一个有向图来表示，图中的顶点代表活动（子工程），图中的有向边代表活动的先后关系，即有向边的起点的活动是终点活动的前序活动，只有当起点活动完成之后，其终点活动才能进行。通常，我们把这种顶点表示活动、边表示活动间先后关系的有向图称做顶点活动网（Activity On Vertex network），简称AOV网。

        在AOV网中，若不存在回路，则所有活动可排列成一个线性序列，使得每个活动的所有前驱活动都排在该活动的前面，我们把此序列叫做拓扑序列（Topological order），由AOV网构造拓扑序列的过程叫做拓扑排序（Topological sort）。AOV网的拓扑序列不是唯一的，满足上述定义的任一线性序列都称作它的拓扑序列。

对于有向图的拓扑排序，我们可以使用如下思路输出拓扑序（BFS 方式）：

1. 起始时，将所有入度为 0 的节点进行入队（入度为 0，说明没有边指向这些节点，将它们放到拓扑排序的首部，不会违反拓扑序定义）。
2. 从队列中进行节点出队操作，出队序列就是对应我们输出的拓扑序。对于当前弹出的节点 x，遍历x 的所有出度y，即遍历所有由 x直接指向的节点y，对y做入度减一操作（因为x节点已经从队列中弹出，被添加到拓扑序中，等价于x节点从有向图中被移除，相应的由x发出的边也应当被删除，带来的影响是与 x相连的节点y的入度减一）。
3. 对y进行入度减一之后，检查 y的入度是否为0，如果为0则将y入队（当y的入度为0，说明有向图中在y前面的所有的节点均被添加到拓扑序中，此时 可以作为拓扑序的某个片段的首部被添加，而不是违反拓扑序的定义）。
4. 循环流程 2、3 直到队列为空。

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①力扣207. 课程表

207. 课程表

难度 中等

你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则 必须 先学习课程  bi 。

• 例如，先修课程对 [0, 1] 表示：想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 。

请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。

示例 1：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：true
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0 。这是可能的。

示例 2：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]
输出：false
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成​课程 0 ；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1 。这是不可能的。

提示：

• 1 <= numCourses <= 2000
• 0 <= prerequisites.length <= 5000
• prerequisites[i].length == 2
• 0 <= ai, bi < numCourses
• prerequisites[i] 中的所有课程对 互不相同

class Solution {
public:bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {}
};

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解析代码

原问题可以转换成一个拓扑排序问题。用BFS 解决拓扑排序即可。

• 将所有入度为 0 的点加入到队列中。
• 当队列不空的时候，一直循环以下三步：

1. 取出队头元素。
2. 将于队头元素相连的顶点的入度 - 1。
3. 然后判断是否减成 0。如果减成 0，就加入到队列中。

class Solution {
public:bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {unordered_map<int, vector<int>> edges; // 领接表vector<int> in(numCourses, 0); // 存储每一个结点的入度for(auto& e : prerequisites) // 1. 建图{int a = e[0], b = e[1];; // b指向aedges[b].push_back(a);in[a]++;}queue<int> q; // 2. BFS解决拓扑排序for(int i = 0; i < numCourses; ++i){if(in[i] == 0)q.push(i);}while(!q.empty()) // 层序遍历{int tmp = q.front();q.pop();for(auto& e : edges[tmp]) // 得到tmp指向的顶点, 删掉一个入度{in[e]--;if(in[e] == 0)q.push(e);}}for(auto& e : in) // 3. 判断是否有环{if(e != 0)return false;}return true;}
};