回溯算法理论

什么是回溯法

回溯法也可以叫做回溯搜索法，它是一种搜索的方式。

回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。

回溯法的效率

纯暴力搜索

虽然回溯法很难，很不好理解，但是回溯法并不是什么高效的算法。
因为回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案，如果想让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作，但也改不了回溯法就是穷举的本质。

回溯法解决的问题

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

理解回溯法

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构

因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度，都构成的树的深度。

递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。

回溯法模板

伪代码

void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果}
}

组合问题I

题目链接

描述

给定两个整数 n 和 k，返回 1 … n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例: 输入: n = 4, k = 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4], ]

题解

class Solution {
private:vector<vector<int>>res;//最后的结果vector<int>path;//放单个组合void backtracking(int n,int k,int startIndex){if (path.size()==k){res.push_back(path);return;}for (int i = startIndex; i <= n; ++i) {path.push_back(i);backtracking(n,k,i+1);//使用递归代表for 一层递归一个for循环path.pop_back();}}
public:// 给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合vector<vector<int>> combine(int n, int k) {backtracking(n,k,1);return res;}
};

优化

如果n=k=4 那么第一层for循环从i=2之后都毫无意义

可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

优化过程

• 已经存入的元素的个数：path.size()
• 还需要的元素的个数：k-path.size()
• 表中剩余元素的个数：n-i >= 所需元素（k - path.size()）
• 在集合n中至多要从该起始位置 : i <= n - (k - path.size()) + 1，开始遍历
  为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。
从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。

class Solution {
private:vector<vector<int>>res;//最后的结果vector<int>path;//放单个组合void backtracking(int n,int k,int startIndex){if (path.size()==k){res.push_back(path);return;}for (int i = startIndex; i <= n-(k-path.size())+1; ++i) {//优化后的for循环path.push_back(i);backtracking(n,k,i+1);//使用递归代表for 一层递归一个for循环path.pop_back();}}
public:// 给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合vector<vector<int>> combine(int n, int k) {backtracking(n,k,1);return res;}
};

组合总和III

题目链接

描述

找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。

说明：

所有数字都是正整数。
解集不能包含重复的组合。
示例 1: 输入: k = 3, n = 7 输出: [[1,2,4]]

示例 2: 输入: k = 3, n = 9 输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]

题解

class Solution {
private:vector<vector<int>> res;vector<int> path;/**** @param k 1-9之间选取的个数* @param n k个数的和为n* @param startIndex 循环开始的数* @param sum 目前已经和为多少*/void backtracking(int k, int n, int startIndex, int sum) {if (sum > n)return;if (path.size() == k) {if (sum == n)res.push_back(path);return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回}for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; ++i) {// 剪枝path.push_back(i);sum += i;backtracking(k, n, i + 1, sum);path.pop_back();sum -= i;}}public:vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {path.clear();res.clear();backtracking(k, n, 1, 0);return res;}
};

电话号码的字母组合

题目链接

描述

给定一个仅包含数字 2-9 的字符串，返回所有它能表示的字母组合。

给出数字到字母的映射如下（与电话按键相同）。注意 1 不对应任何字母。

输入：“23”
输出：[“ad”, “ae”, “af”, “bd”, “be”, “bf”, “cd”, “ce”, “cf”].
说明：尽管上面的答案是按字典序排列的，但是你可以任意选择答案输出的顺序。

题解

class Solution {
private:vector<string> res;string path;vector<string>flags={"abc","def","ghi","jkl","mno","pqrs","tuv","wxyz"};void backtracking(string digits,int len,int startIndex) {if (path.size()==len){res.push_back(path);return;}string letter=flags[digits[startIndex]-'0'-2];for (int i = 0; i < letter.size(); ++i) {path.push_back(letter[i]);backtracking(digits,len,startIndex+1);path.pop_back();}}public:vector<string> letterCombinations(string digits) {int len = digits.size();if (!len)return res;backtracking(digits,len,0);return res;}
};

组合总和

题目链接

描述

给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的数字可以无限制重复被选取。

说明：

所有数字（包括 target）都是正整数。
解集不能包含重复的组合。
示例 1：

输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7,
所求解集为： [ [7], [2,2,3] ]
示例 2：

输入：candidates = [2,3,5], target = 8,
所求解集为： [ [2,2,2,2], [2,3,3], [3,5] ]

题解

class Solution {
private:vector<vector<int>> res;vector<int> path;void backtracking(vector<int> &canidates, int target, int nowSum, int startIndex) {if (nowSum > target)return;if (nowSum == target) {res.push_back(path);return;}int len = canidates.size();for (int i = startIndex; i < len; ++i) {path.push_back(canidates[i]);nowSum += canidates[i];backtracking(canidates, target, nowSum, i);path.pop_back();nowSum -= canidates[i];}}public:vector<vector<int>> combinationSum(vector<int> &candidates, int target) {backtracking(candidates, target, 0, 0);return res;}
};

组合总和II

添加链接描述

描述

给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。

说明： 所有数字（包括目标数）都是正整数。解集不能包含重复的组合。

示例 1:
输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8,
所求解集为:
[
[1, 7],
[1, 2, 5],
[2, 6],
[1, 1, 6]
]
示例 2:
输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5,
所求解集为:
[
[1,2,2],
[5]
]

题解

class Solution {
private:vector<vector<int>>res;vector<int>path;void backtracking(vector<int>&candidates,int target,int nowSum,int index){if (nowSum>target)return;if (nowSum==target){res.push_back(path);return;}for (int i = index; i < candidates.size(); ++i) {if (i>index&&candidates[i]==candidates[i-1])continue;path.push_back(candidates[i]);nowSum+=candidates[i];backtracking(candidates,target,nowSum,i+1);path.pop_back();nowSum-=candidates[i];}}
public:vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {sort(candidates.begin(),candidates.end());backtracking(candidates,target,0,0);return res;}
};

分割回文串

题目链接

描述

给定一个字符串 s，将 s 分割成一些子串，使每个子串都是回文串。

返回 s 所有可能的分割方案。

示例: 输入: “aab” 输出: [ [“aa”,“b”], [“a”,“a”,“b”] ]

题解

class Solution {
private:vector<vector<string>>res;vector<string>path;bool isPalindrome(const string&s,int start,int end){for (int i = start,j=end; i < j; ++i,--j) {if (s[i]!=s[j])return false;}return true;}void backtracking(const string&s,int startIndex){// 如果起始位置已经大于s的大小，说明已经找到了一组分割方案了if (startIndex>=s.size()){res.push_back(path);return;}for (int i = startIndex; i < s.size(); ++i) {if (isPalindrome(s,startIndex,i)){// 获取[startIndex,i]在s中的子串string str=s.substr(startIndex,i-startIndex+1);path.push_back(str);}else//如果不是回文串 那么跳过continue;backtracking(s,i+1);path.pop_back();}}
public:vector<vector<string>> partition(string s) {backtracking(s,0);return res;}
};

复原IP地址

题目链接

描述

给定一个只包含数字的字符串，复原它并返回所有可能的 IP 地址格式。

有效的 IP 地址 正好由四个整数（每个整数位于 0 到 255 之间组成，且不能含有前导 0），整数之间用 ‘.’ 分隔。

例如：“0.1.2.201” 和 “192.168.1.1” 是 有效的 IP 地址，但是 “0.011.255.245”、“192.168.1.312” 和 “192.168@1.1” 是 无效的 IP 地址。

示例 1：

输入：s = “25525511135”
输出：[“255.255.11.135”,“255.255.111.35”]
示例 2：

输入：s = “0000”
输出：[“0.0.0.0”]
示例 3：

输入：s = “1111”
输出：[“1.1.1.1”]

题解

class Solution {
private:vector<string> res;// startIndex: 搜索的起始位置，pointNum:添加逗点的数量void backtracking(string &s, int startIndex, int pointNum) {if (pointNum == 3) {//逗号个数为3时 分割结束//判断第四段字符串是否合法if (vaildIP(s, startIndex, s.size() - 1)) {res.push_back(s);return;}}for (int i = startIndex; i < s.size(); ++i) {if (vaildIP(s, startIndex, i)) {// 判断 [startIndex,i] 这个区间的子串是否合法s.insert(s.begin() + i + 1, '.');//在i后面插入逗号++pointNum;backtracking(s, i + 2, pointNum);--pointNum;s.erase(s.begin() + i + 1);} else break;//不合法直接结束本层循环 因为如果这一段不合法那么再加一个字符也是不合法的}}bool vaildIP(const string &s, int start, int end) {if (start > end)return false;if (s[start] == '0' && start != end)return false;int num=0;for (int i = start; i <= end; ++i) {if (s[i]<'0'||s[i]>'9')return false;num=num*10+s[i]-'0';if (num>255)return false;}return true;}public:vector<string> restoreIpAddresses(string s) {backtracking(s, 0, 0);return res;}
};

子集

题目链接

描述

给定一组不含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

说明：解集不能包含重复的子集。

示例: 输入: nums = [1,2,3] 输出: [ [3], [1], [2], [1,2,3], [1,3], [2,3], [1,2], [] ]

题解

class Solution {
private:vector<vector<int>>res;vector<int>subSet;void backtracking(vector<int>&nums,int startIndex){res.push_back(subSet); // 收集子集，要放在终止添加的上面，否则会漏掉自己if (startIndex>=nums.size())return;//终止条件 可以不加，因为下面的循环当startIndex==size的时候就不会进行了for (int i = startIndex; i < nums.size(); ++i) {subSet.push_back(nums[i]);backtracking(nums,i+1);subSet.pop_back();}}
public:vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {backtracking(nums,0);return res;}
};

子集II

题目链接

描述

给定一个可能包含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

说明：解集不能包含重复的子集。

示例:

输入: [1,2,2]
输出: [ [2], [1], [1,2,2], [2,2], [1,2], [] ]

题解

和子集I思路差不多，不过多了一个去重操作

class Solution {
private:vector<vector<int>>res;vector<int>path;void backtracking(vector<int>&nums,int startIndex){res.push_back(path);if (startIndex>=nums.size())return;for (int i = startIndex; i < nums.size(); ++i) {if (i>startIndex&&nums[i]==nums[i-1])continue;path.push_back(nums[i]);backtracking(nums,i+1);path.pop_back();}}
public:vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {sort(nums.begin(),nums.end());backtracking(nums,0);return res;}
};

递增子序列

题目链接

描述

给定一个整型数组, 你的任务是找到所有该数组的递增子序列，递增子序列的长度至少是2。

示例:

输入: [4, 6, 7, 7]
输出: [[4, 6], [4, 7], [4, 6, 7], [4, 6, 7, 7], [6, 7], [6, 7, 7], [7,7], [4,7,7]]
说明:

给定数组的长度不会超过15。
数组中的整数范围是 [-100,100]。
给定数组中可能包含重复数字，相等的数字应该被视为递增的一种情况。

题解

有更好的优化 比如unordered_set换成数组 因为题目给出了数字的范围

class Solution {
private:vector<vector<int>> res;vector<int> path;void backtracking(vector<int> &nums, int startIndex) {if (path.size() >= 2) {res.push_back(path);//后面不可以加return 因为要遍历全部}unordered_set<int> uset;//uset仅负责一层 也就是一层递归调用函数for (int i = startIndex; i < nums.size(); ++i) {if (!path.empty() && nums[i] < path.back() || uset.find(nums[i]) != uset.end())continue;uset.insert(nums[i]);//记录本层本元素已经使用 不影响下一层 （下一次递归）path.push_back(nums[i]);backtracking(nums, i + 1);path.pop_back();}}public:vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int> &nums) {backtracking(nums, 0);return res;}
};

全排列

题目链接

描述

给定一个 没有重复 数字的序列，返回其所有可能的全排列。

示例:

输入: [1,2,3]
输出: [ [1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,1,2], [3,2,1] ]

题解

排列问题：

• 每层都是从0开始搜索而不是startIndex
• 需要used数组记录path里都放了哪些元素了

class Solution {
private:vector<vector<int>> res;vector<int> path;void backtracking(vector<int> &nums,vector<bool>&used) {if (path.size() == nums.size()) {// 此时说明找到了一组res.push_back(path);return;}for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {if (used[i])continue;// path里已经收录的元素，直接跳过used[i]=true;path.push_back(nums[i]);backtracking(nums,used);used[i]=false;path.pop_back();}}public:vector<vector<int>> permute(vector<int> &nums) {vector<bool>used(nums.size(),false);backtracking(nums,used);return res;}
};

全排列 II

题目链接

描述

给定一个可包含重复数字的序列 nums ，按任意顺序 返回所有不重复的全排列。

示例 1：

输入：nums = [1,1,2]
输出： [[1,1,2], [1,2,1], [2,1,1]]
示例 2：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
提示：

1 <= nums.length <= 8
-10 <= nums[i] <= 10

题解

借用代码随想录网站的图：

树层上去重(used[i - 1] == false)，的树形结构如下：

树枝上去重（used[i - 1] == true）的树型结构如下：

class Solution {
private:vector<vector<int>> res;vector<int> path;void backtracking(vector<int> &nums, vector<bool> &used) {if (path.size() == nums.size()) {res.push_back(path);return;}for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {// used[i - 1] == true，说明同一树枝nums[i - 1]使用过// used[i - 1] == false，说明同一树层nums[i - 1]使用过// 如果同一树层nums[i - 1]使用过则直接跳过if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false)continue;if (!used[i]) {used[i] = true;path.push_back(nums[i]);backtracking(nums, used);path.pop_back();used[i] = false;}}}public:vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int> &nums) {vector<bool> used(nums.size(), false);sort(nums.begin(), nums.end());backtracking(nums, used);return res;}
};

重新安排行程 难

题目链接

描述

给定一个机票的字符串二维数组 [from, to]，子数组中的两个成员分别表示飞机出发和降落的机场地点，对该行程进行重新规划排序。所有这些机票都属于一个从 JFK（肯尼迪国际机场）出发的先生，所以该行程必须从 JFK 开始。

提示：

如果存在多种有效的行程，请你按字符自然排序返回最小的行程组合。例如，行程 [“JFK”, “LGA”] 与 [“JFK”, “LGB”] 相比就更小，排序更靠前
所有的机场都用三个大写字母表示（机场代码）。
假定所有机票至少存在一种合理的行程。
所有的机票必须都用一次 且 只能用一次。
示例 1：

输入：[[“MUC”, “LHR”], [“JFK”, “MUC”], [“SFO”, “SJC”], [“LHR”, “SFO”]]
输出：[“JFK”, “MUC”, “LHR”, “SFO”, “SJC”]
示例 2：

输入：[[“JFK”,“SFO”],[“JFK”,“ATL”],[“SFO”,“ATL”],[“ATL”,“JFK”],[“ATL”,“SFO”]]
输出：[“JFK”,“ATL”,“JFK”,“SFO”,“ATL”,“SFO”]
解释：另一种有效的行程是 [“JFK”,“SFO”,“ATL”,“JFK”,“ATL”,“SFO”]。但是它自然排序更大更靠后。

本题中存在的几个难点

如何处理死循环？

出发机场和到达机场也会重复的，如果在解题的过程中没有对集合元素处理好，就会死循环

映射关系的记录

题目要求：如果有多个路径，字母序靠前排在前面

一个机场映射多个机场，多个机场之间要按照字母序排序

可以使用unordered_map<string,map<string,int>> targets ，也就是对应

map/set 自动排序（按照数字、字母序，从小到大排序）

unordered_map<出发机场，map<到达机场，航班次数>>

在遍历 unordered_map<出发机场, map<到达机场, 航班次数>> targets的过程中，可以使用"航班次数"这个字段的数字做相应的增减，来标记到达机场是否使用过了

如果“航班次数”大于零，说明目的地还可以飞，如果“航班次数”等于零说明目的地不能飞了，而不用对集合做删除元素或者增加元素的操作。

题解

class Solution {
private:unordered_map<string, map<string, int>> targets;vector<string> result;// 对于本题目而言 我们不需要遍历跟到节点的所有可能，只需要找到一个行程，就是在树形结构中唯一的一条通向叶子节点的路线// 所以需要返回值bool backtracking(vector<vector<string>> &tickets, int ticketNum) {if (ticketNum + 1 == result.size())return true;for (pair<const string, int> &target: targets[result[result.size() - 1]]) {if (target.second) {result.push_back(target.first);target.second--;if (backtracking(tickets, ticketNum))return true;target.second++;result.pop_back();}}return false;}public:vector<string> findItinerary(vector<vector<string>> &tickets) {for (const vector<string> &ticket: tickets)targets[ticket[0]][ticket[1]]++;result.push_back("JFK");backtracking(tickets, tickets.size());return result;}
};

N皇后 难

题目链接

描述

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

不能同行
不能同列
不能同斜线

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。

题解

class Solution {
private:vector<vector<string>>res;bool isValid(int row,int col,int n,vector<string>&path){//检查列for(int i = 0; i < row; ++i)if(path[i][col]=='Q')return false;/* 检查行是多余的，因为在单层搜索的过程中，每一层递归，只会选for循环（也就是同一行）里的一个元素，所以不用去重了。for(int i = 0;i < col;++i)if(path[row][i]=='Q')return false;   *///45度for(int i = col-1,j=row-1;i >= 0&&j>=0;--i,--j){if(path[j][i]=='Q')return false;}//135度for(int i = row-1,j=col+1;i>=0&&j<n ;--i,++j){if(path[i][j]=='Q')return false;}return true;}void backtracking(int n,int start,vector<string>&path){if(start==n){res.push_back(path);return;}for(int i = 0 ;i < n ;++i){if(isValid(start,i,n,path)){path[start][i]='Q';backtracking(n,start+1,path);path[start][i]='.';}}}
public:vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {vector<string>path(n,string(n,'.'));backtracking(n,0,path);return res;}
};

解数独 跳过

题目链接

描述

编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。

一个数独的解法需遵循如下规则： 数字 1-9 在每一行只能出现一次。 数字 1-9 在每一列只能出现一次。 数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。 空白格用 ‘.’ 表示。

提示：

给定的数独序列只包含数字 1-9 和字符 ‘.’ 。
你可以假设给定的数独只有唯一解。
给定数独永远是 9x9 形式的。

题解