空间解析几何——直线与平面

三维空间中的直线和平面与二维空间中的性质有一定的类似之处，但是其相交关系的求解方式有所差异。本文回顾了三维空间中直线和平面的解析表达，然后推导线-线、线-面交点。

平面

空间平面的表达式为：
$$Ax+By+Cz+D=0\text{\hspace{1em}(1)}$$
包含了4个参数$A,B,C,D$，$(A,B,C)$是平面的一个法向量。但是它们并非独立的，即法向量的长度可以是任意的。
若限定$A,B,C$三个参数满足：
$$A^2+B^2+C^2=1\text{\hspace{1em}(2)}$$
此时$(A,B,C)$是平面的单位法向量，$D$表示坐标原点到该平面的距离。方便起见，下面的讨论默认平面的A,B,C参数满足(2)式。

本质上，空间平面仅需要三个参数确定：$(n_x,n_y,1)$描述其法向量（仅需2参数），$d$描述其到原点的距离，表达式为$n_{x}x+n_{y}y+z+d=0$，与(1)是等价的。

直线

空间直线的一种表达是：两个平面的交。用${\pi }_1,{\pi }_2$表示两个不平行、不共面的平面，则一条空间直线可以表达为
$$l={\pi }_1\cap {\pi }_2\to l=\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$

显然，这种表达方式不是唯一的。一条空间直线可能是无数对平面的交线。
空间直线更常用的表达式为：
$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$

包含6个参数$x_0,y_0,z_0,a,b,c$，$(a,b,c)$是直线的方向向量，其长度任意，因而相当于只有两个独立参数；$(x_0,y_0,z_0)$是直线上一点。因此，一条空间直线只需要5个独立参数即可描述。

点到平面的距离

点$(x_1,y_1,z_1)$到平面$Ax+By+Cz+D=0$的距离为：

$$d=\frac{|A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

点到直线的距离

点$(x_1,y_1,z_1)$到直线$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$的距离为：

$$d=\frac{|(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\times (a,b,c)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

表达式中为何出现叉积？这是因为，$|a\times b|=|a||b||\sin \theta |$，而$d$恰恰就等于$|(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)|\ast |\sin \theta |$。

直线之间的距离

两条直线$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$、$\frac{x-x_1}{a^{\prime }}=\frac{y-y_1}{b^{\prime }}=\frac{z-z_1}{c^{\prime }}$，分别通过点P1$(x_0,y_0,z_0)$和P2$(x_1,y_1,z_1)$。
两条直线方向向量的叉积即为待求距离所在的方向，我们记作$N=(a,b,c)\times (a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })$
则它们之间的距离为：

$$d=\frac{|(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\cdot N|}{||N||}$$
其中，$||\ast ||$表示取模。

直线与直线相交

两条直线$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$、$\frac{x-x_1}{a^{\prime }}=\frac{y-y_1}{b^{\prime }}=\frac{z-z_1}{c^{\prime }}$，分别通过点P1$(x_0,y_0,z_0)$和P2$(x_1,y_1,z_1)$。
若两条空间直线相交，则它们必共面。与求解直线的距离类似，为了求两条空间直线的交点，首先计算两条直线方向向量的叉积$N$。

解法一

由于两条直线的方向向量已知，所以求交点$C$的问题，可以转化为求解CP1长度的问题。将CP1长度记为L，如图所示，显然有：

$$L=d/|\cos \theta |$$

而$d$即P1点到另一直线的距离。即有：
$$d=\frac{|(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\times (a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })|}{\sqrt{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}}}$$

两直线夹角的余弦为：
$$|\cos \theta |=\frac{a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}}}$$

那么，由于距离d没有符号，C点坐标为：
$$C=P1+L\cdot (a,b,c)\text{或}C=P1-L\cdot (a,b,c)$$
为确定C坐标为上面两个结果中的哪一个，将它们代入直线$l_2$的表达式，误差较小的那个就是真正的交点。

解法二

设未知数t，由于C在直线$l_1$上，其坐标可以表达为$(x_0+ta,y_0+tb,z_0+tc)$；代入直线$l_2$的表达式，有：

$$\{\begin{array}{l}\frac{x_0+ta-x_1}{a^{\prime }}=\frac{y_0+tb-y_1}{b^{\prime }}\\ \frac{x_0+ta-x_1}{a^{\prime }}=\frac{z_0+tc-z_1}{c^{\prime }}\end{array}$$

由上面两式，可分别求出两个t值：

$$\begin{gathered} t_1=\frac{(x_1-x_0)b^{\prime }-(y_1-y_0)a^{\prime }}{a{b}^{\prime }-a^{\prime }b} \\ {t}_2=\frac{(x_1-x_0)c^{\prime }-(z_1-z_0)a^{\prime }}{a{c}^{\prime }-a^{\prime }c} \end{gathered}$$
如果$t_1,t_2$非常接近，则说明两直线确实交于一点；如果它们差异较大，说明两直线可能不相交（即不共面或平行）。

多条直线相交时，应按照最小二乘法求交点。

直线与平面相交

已知直线$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$，直线上一点P$(x_0,y_0,z_0)$，平面方程为：$Ax+By+Cz+D=0$，如图所示求交点坐标：

设未知数t，由于C在直线上，其坐标可以表达为$(x_0+ta,y_0+tb,z_0+tc)$：

因为C在平面上，所以满足
$$A(x_0+ta)+B(y_0+tb)+C(z_0+tc)+D=0$$

整理可得
$$t=-\frac{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D}{aA+bB+cC}$$

那么，直线与平面的交点坐标为：
$$C=P+t\ast (a,b,c)$$