一、前言

  本文将介绍张量的梯度计算，包括变量（Variable）、自动微分、计算图及其可视化等

二、实验环境

  本系列实验使用如下环境

conda create -n DL python==3.11

conda activate DL

conda install pytorch torchvision torchaudio pytorch-cuda=12.1 -c pytorch -c nvidia

conda install pydot

三、PyTorch数据结构

1、Tensor（张量）

  Tensor（张量）是PyTorch中用于表示多维数据的主要数据结构，类似于多维数组，可以存储和操作数字数据。

1. 维度（Dimensions）

  Tensor（张量）的维度（Dimensions）是指张量的轴数或阶数。在PyTorch中，可以使用size()方法获取张量的维度信息，使用dim()方法获取张量的轴数。

2. 数据类型（Data Types）

  PyTorch中的张量可以具有不同的数据类型：

• torch.float32或torch.float：32位浮点数张量。
• torch.float64或torch.double：64位浮点数张量。
• torch.float16或torch.half：16位浮点数张量。
• torch.int8：8位整数张量。
• torch.int16或torch.short：16位整数张量。
• torch.int32或torch.int：32位整数张量。
• torch.int64或torch.long：64位整数张量。
• torch.bool：布尔张量，存储True或False。

【深度学习】Pytorch 系列教程（一）：PyTorch数据结构：1、Tensor（张量）及其维度（Dimensions）、数据类型（Data Types）

3. GPU加速（GPU Acceleration）

【深度学习】Pytorch 系列教程（二）：PyTorch数据结构：1、Tensor（张量）： GPU加速（GPU Acceleration）

2、张量的数学运算

  PyTorch提供了丰富的操作函数，用于对Tensor进行各种操作，如数学运算、统计计算、张量变形、索引和切片等。这些操作函数能够高效地利用GPU进行并行计算，加速模型训练过程。

1. 向量运算

【深度学习】Pytorch 系列教程（三）：PyTorch数据结构：2、张量的数学运算（1）：向量运算（加减乘除、数乘、内积、外积、范数、广播机制）

2. 矩阵运算

【深度学习】Pytorch 系列教程（四）：PyTorch数据结构：2、张量的数学运算（2）：矩阵运算及其数学原理（基础运算、转置、行列式、迹、伴随矩阵、逆、特征值和特征向量）

3. 向量范数、矩阵范数、与谱半径详解

【深度学习】Pytorch 系列教程（五）：PyTorch数据结构：2、张量的数学运算（3）：向量范数（0、1、2、p、无穷）、矩阵范数（弗罗贝尼乌斯、列和、行和、谱范数、核范数）与谱半径详解

4. 一维卷积运算

【深度学习】Pytorch 系列教程（六）：PyTorch数据结构：2、张量的数学运算（4）：一维卷积及其数学原理（步长stride、零填充pad；宽卷积、窄卷积、等宽卷积；卷积运算与互相关运算）

5. 二维卷积运算

【深度学习】Pytorch 系列教程（七）：PyTorch数据结构：2、张量的数学运算（5）：二维卷积及其数学原理

6. 高维张量

3、张量的统计计算

【深度学习】Pytorch教程（九）：PyTorch数据结构：3、张量的统计计算详解

4、张量操作

1. 张量变形

【深度学习】Pytorch教程（十）：PyTorch数据结构：4、张量操作（1）：张量变形操作

2. 索引

3. 切片

【深度学习】Pytorch 教程（十一）：PyTorch数据结构：4、张量操作（2）：索引和切片操作

4. 张量修改

【深度学习】Pytorch 教程（十二）：PyTorch数据结构：4、张量操作（3）：张量修改操作（拆分、拓展、修改）

5、张量的梯度计算

0. 变量（Variable）

  Variable（变量）是早期版本中的一种概念，用于自动求导（autograd）。从PyTorch 0.4.0版本开始，Variable已经被弃用，自动求导功能直接集成在张量（Tensor）中，因此不再需要显式地使用Variable。
  在早期版本的PyTorch中，Variable是一种包装张量的方式，它包含了张量的数据、梯度和其他与自动求导相关的信息。可以对Variable进行各种操作，就像操作张量一样，而且它会自动记录梯度信息。然后，通过调用.backward()方法，可以对Variable进行反向传播，计算梯度，并将梯度传播到相关的变量。

import torch
from torch.autograd import Variable# 创建一个Variable
x = Variable(torch.tensor([2.0]), requires_grad=True)# 定义一个计算图
y = x ** 2 + 3 * x + 1# 进行反向传播
y.backward()# 获取梯度
gradient = x.grad
print("梯度：", gradient)  # 输出: tensor([7.])

1. 自动微分

  PyTorch 使用自动微分机制来计算梯度，当定义一个 Tensor 对象时，可以通过设置 requires_grad=True 来告诉 PyTorch 跟踪相关的计算，并使用 backward() 方法来计算梯度：

a. 单参数

import torchx = torch.tensor([2.0], requires_grad=True)def f(x):return 5 * x ** 2 + 2 * x - 1# 计算函数的输出
y = f(x)# 使用backward()方法计算梯度
y.backward()# 获取梯度值
gradient = x.grad
print(gradient)

输出：

tensor([22.])

$$\begin{gathered} y^{\prime }=10x+2 \\ 22=10\ast 2+2 \end{gathered}$$

b. 多参数

import torchdef f(x, w, b):return 1 / (torch.exp(-(w * x + b)) + 1)# 设置输入参数
x = torch.tensor(1.0, requires_grad=True)
w = torch.tensor(0.0, requires_grad=True)
b = torch.tensor(0.0, requires_grad=True)# 计算函数f(x;w,b)的值
result = f(x, w, b)# 使用自动微分计算梯度
result.backward()
print(x.grad)  # 求关于x的梯度
print(w.grad)  # 求关于w的梯度
print(b.grad)  # 求关于b的梯度

2. 计算图

  计算图是一种用来表示数学运算过程的图形化结构，它将数学计算表达为节点和边的关系，提供了一种直观的方式来理解和推导复杂的数学运算过程。在深度学习中，计算图帮助我们理解模型的训练过程，直观地把握损失函数对模型参数的影响，同时为反向传播算法提供了理论基础。现代深度学习框架如 PyTorch 和 TensorFlow 都是基于计算图的理论基础构建出来的。
$$f(x;w,b)=\frac{1}{e^{-(wx+b)}+1}$$当$x=1,w=0,b=0$时


  计算图包括两种节点：计算节点（Compute Node）和数据节点（Data Node）。

• 数据节点：表示输入数据、参数或中间变量，在计算图中通常用圆形结点表示。数据节点始终是叶节点，它们没有任何输入，仅表示数据。

• 计算节点：表示数学运算过程，它将输入的数据节点进行数学运算后输出结果。在计算图中通常用方形结点表示。计算节点可以有多个输入和一个输出。反向传播算法中的梯度计算正是通过计算节点来实现的。

一个完整的计算图可以分为正向传播和反向传播两个阶段：

• 正向传播（Forward Propagation）：输入数据经过计算节点逐层传播，最终得到输出结果。

• 反向传播（Backward Propagation）：首先根据损失函数计算输出结果与真实标签之间的误差，然后利用链式法则，逐个计算每个计算节点对应的输入的梯度，最终得到参数的梯度信息。

3. 神经网络模型

略~详见后文模块（Module） 部分

import torchclass MyModel(torch.nn.Module):def __init__(self):super(MyModel, self).__init__()def forward(self, x, w, b):return 1 / (torch.exp(-(w * x + b)) + 1)model = MyModel()# 设置输入参数
x = torch.tensor(1.0, requires_grad=True)
w = torch.tensor(0.0, requires_grad=True)
b = torch.tensor(0.0, requires_grad=True)# Forward pass
output = model(x, w, b)# Backward pass
output.backward()# Access the gradients
print(x.grad)  # Gradient with respect to x
print(w.grad)  # Gradient with respect to w
print(b.grad)  # Gradient with respect to b

4. 可视化计算图结构

  以下内容完全由GPT生成：

import torch
import onnx
from onnx.tools.net_drawer import GetPydotGraph
import pydotclass MyModel(torch.nn.Module):def __init__(self):super(MyModel, self).__init__()def forward(self, x, w, b):return 1 / (torch.exp(-(w * x + b)) + 1)model = MyModel()x = torch.tensor(1.0, requires_grad=True)
w = torch.tensor(0.0, requires_grad=True)
b = torch.tensor(0.0, requires_grad=True)# 导出为ONNX格式
torch.onnx.export(model, (x, w, b), "f.onnx", verbose=True, input_names=["x", "w", "b"], output_names=["output"])# 可视化计算图结构
model = onnx.load("f.onnx")
pydot_graph = GetPydotGraph(model.graph, name=model.graph.name, rankdir="TB"# rankdir="LR")  # Set rankdir to "LR" for left to right orientation
pydot_graph.write_dot("f_computation_graph.dot")# 将dot文件转换为PNG格式的图像
(graph,) = pydot.graph_from_dot_file('f_computation_graph.dot')
graph.write_png('f_computation_graph.png')