题目

题目背景

众所周知，对一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0,(a\ne 0)$，可以用以下方式求实数解：

• 计算 $\Delta =b^2-4ac$，则:
  1. 若 $\Delta <0$，则该一元二次方程无实数解。
  2. 否则 $\Delta \ge 0$，此时该一元二次方程有两个实数解 $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$。

例如：

• $x^2+x+1=0$ 无实数解，因为 $\Delta =1^2-4\times 1\times 1=-3<0$。
• $x^2-2x+1=0$ 有两相等实数解 $x_{1,2}=1$。
• $x^2-3x+2=0$ 有两互异实数解 $x_1=1,x_2=2$。

在题面描述中 $a$ 和 $b$ 的最大公因数使用 $\gcd (a,b)$ 表示。例如 $12$ 和 $18$ 的最大公因数是 $6$，即 $\gcd (12,18)=6$。

题目描述

现在给定一个一元二次方程的系数 $a,b,c$，其中 $a,b,c$ 均为整数且 $a\ne 0$。你需要判断一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 是否有实数解，并按要求的格式输出。

在本题中输出有理数 $v$ 时须遵循以下规则：

• 由有理数的定义，存在唯一的两个整数 $p$ 和 $q$，满足 $q>0$，$\gcd (p,q)=1$ 且 $v=\frac{p}{q}$。

• 若 $q=1$，则输出 {p}，否则输出 {p}/{q}，其中 {n} 代表整数 $n$ 的值；

• 例如：

  • 当 $v=-0.5$ 时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $-1$ 和 $2$，则应输出 -1/2；
  • 当 $v=0$ 时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $0$ 和 $1$，则应输出 0。

对于方程的求解，分两种情况讨论：

1. 若 $\Delta =b^2-4ac<0$，则表明方程无实数解，此时你应当输出 NO；

2. 否则 $\Delta \ge 0$，此时方程有两解（可能相等），记其中较大者为 $x$，则：

   1. 若 $x$ 为有理数，则按有理数的格式输出 $x$。

   2. 否则根据上文公式，$x$ 可以被唯一表示为 $x=q_1+q_2\sqrt{r}$ 的形式，其中：

      • $q_1,q_2$ 为有理数，且 $q_2>0$；
      • $r$ 为正整数且 $r>1$，且不存在正整数 $d>1$ 使 $d^2\mid r$（即 $r$ 不应是 $d^2$ 的倍数）；

   此时：

   1. 若 $q_1\ne 0$，则按有理数的格式输出 $q_1$，并再输出一个加号 +；
   2. 否则跳过这一步输出；

   随后：

   1. 若 $q_2=1$，则输出 sqrt({r})；
   2. 否则若 $q_2$ 为整数，则输出 {q2}*sqrt({r})；
   3. 否则若 $q_3=\frac{1}{q_2}$ 为整数，则输出 sqrt({r})/{q3}；
   4. 否则可以证明存在唯一整数 $c,d$ 满足 $c,d>1,\gcd (c,d)=1$ 且 $q_2=\frac{c}{d}$，此时输出 {c}*sqrt({r})/{d}；

   上述表示中 {n} 代表整数 {n} 的值，详见样例。

   如果方程有实数解，则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解，则输出 NO。

输入格式

输入的第一行包含两个正整数 $T,M$，分别表示方程数和系数的绝对值上限。

接下来 $T$ 行，每行包含三个整数 $a,b,c$。

输出格式

输出 $T$ 行，每行包含一个字符串，表示对应询问的答案，格式如题面所述。

每行输出的字符串中间不应包含任何空格。

样例 #1

样例输入 #1

9 1000
1 -1 0
-1 -1 -1
1 -2 1
1 5 4
4 4 1
1 0 -432
1 -3 1
2 -4 1
1 7 1

样例输出 #1

1
NO
1
-1
-1/2
12*sqrt(3)
3/2+sqrt(5)/2
1+sqrt(2)/2
-7/2+3*sqrt(5)/2

提示

【样例 #2】

见附件中的 uqe/uqe2.in 与 uqe/uqe2.ans。

【数据范围】

对于所有数据有：$1\le T\le 5000$，$1\le M\le 10^3$，$|a|,|b|,|c|\le M$，$a\ne 0$。

测试点编号	$M\le$	特殊性质 A	特殊性质 B	特殊性质 C
$1$	$1$	是	是	是
$2$	$20$	否	否	否
$3$	$10^3$	是	否	是
$4$	$10^3$	是	否	否
$5$	$10^3$	否	是	是
$6$	$10^3$	否	是	否
$7,8$	$10^3$	否	否	是
$9,10$	$10^3$	否	否	否

其中：

• 特殊性质 A：保证 $b=0$；
• 特殊性质 B：保证 $c=0$；
• 特殊性质 C：如果方程有解，那么方程的两个解都是整数。

题目传送门

洛谷 P9750 [CSP-J 2023] 一元二次方程

题解

思路

没有任何算法，纯粹的大模拟，细节还蛮多的

由于这道题有多测，所以用一个函数比较好，可以把 $a,b,c$ 都传进去，这就是主函数

int T, m;
int a, b, c;
int main() {scanf("%d%d", &T, &m);while(T-- && scanf("%d%d%d", &a, &b, &c))work(a, b, c);return 0;
}

函数里面首先是判断无解，也就是 $\Delta <0$，那我们就需要算出 $\Delta$，即 $b^2-4ac$

int delta = b * b - 4 * a * c;void work(int a, int b, int c) {delta = b * b - 4 * a * c;if(delta < 0) {puts("NO");return;}
}

然后需要判断 $\Delta$ 是完全平方数，那么就可以直接算出 $\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ 和 $\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ 哪个大，然后如果能除开就直接输出那个根，否则就输出约分后的那个根

（那个 $printdivision(p,q)$ 函数是用来输出 $p/q$ 的，具体请参考注释）

int delta;
double x1, x2;
int sq;void print_division(int p, int q) {if(!p) {											// 分子为 0，则输出 0 putchar('0');return;}if(p * q < 0)										// 两数异号，则输出符号 putchar('-');if(p < 0)											// 将两数都变成正数 p = -p;if(q < 0)q = -q;int g = __gcd(p, q);								// 约分 p /= g;q /= g;if(q == 1)											// 分母为 1，则输出分子 printf("%d", p);else												// 否则输出 “分子/分母” printf("%d/%d", p, q);
}void work(int a, int b, int c) {delta = b * b - 4 * a * c;if(delta < 0) {puts("NO");return;}sq = sqrt(delta);if(sq * sq == delta) {x1 = 1.0 * (-b + sq) / 2 * a;x2 = 1.0 * (-b - sq) / 2 * a;if(x1 > x2)print_division(-b + sq, 2 * a);elseprint_division(-b - sq, 2 * a);puts("");return;}
}

否则的话就需要按照 “$-b/2a+\sqrt{\Delta }/2a$” 的格式输出

首先如果 $b\ne 0$，那么就说明 $-b/2a\ne 0$，就可以输出 “$-b/2a+$”

为什么一定是 $+$ ？因为如果是 $\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ 更大，那就说明 $2a<0$，否则不可能 $\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}>\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$，所以一定是 $+$

最后就是输出 $\sqrt{\Delta }/2a$ 了，具体怎么做请参考代码注释

int delta;
double x1, x2;
int sq;void print_division(int p, int q) {if(!p) {											// 分子为 0，则输出 0 putchar('0');return;}if(p * q < 0)										// 两数异号，则输出符号 putchar('-');if(p < 0)											// 将两数都变成正数 p = -p;if(q < 0)q = -q;int g = __gcd(p, q);								// 约分 p /= g;q /= g;if(q == 1)											// 分母为 1，则输出分子 printf("%d", p);else												// 否则输出 “分子/分母” printf("%d/%d", p, q);
}void print_sqrt(int p, int q) {if(q < 0)											// 如果分母是负数，则将其变为正数，因为和前面的负号消没了（上文说过了） q = -q;int u = 1;											// 根号前面的系数 for(int i = sqrt(p); i > 1; --i)					// 化简 if(!(p % (i * i))) {p /= i * i;u *= i;break; }int g = __gcd(u, q);								// 约分 u /= g;q /= g;if(u > 1)											// 系数大于 1，则输出 “系数*” printf("%d*", u);if(p > 1)											// 根号下的数大于 1，则输出 “sqrt(根号下的数)” printf("sqrt(%d)", p);if(q > 1)											// 分母大于 1，则输出 “/分母” printf("/%d", q);
}void work(int a, int b, int c) {delta = b * b - 4 * a * c;if(delta < 0) {puts("NO");return;}sq = sqrt(delta);if(sq * sq == delta) {x1 = 1.0 * (-b + sq) / 2 * a;x2 = 1.0 * (-b - sq) / 2 * a;if(x1 > x2)print_division(-b + sq, 2 * a);elseprint_division(-b - sq, 2 * a);puts("");return;}if(b) {print_division(-b, 2 * a);putchar('+');}print_sqrt(delta, 2 * a);puts("");
}

总代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;int T, m;
int a, b, c;
int delta;
double x1, x2;
int sq;void print_division(int p, int q) {if(!p) {putchar('0');return;}if(p * q < 0)putchar('-');if(p < 0)p = -p;if(q < 0)q = -q;int g = __gcd(p, q);p /= g;q /= g;if(q == 1)printf("%d", p);elseprintf("%d/%d", p, q);
}void print_sqrt(int p, int q) {if(q < 0)q = -q;int u = 1;for(int i = sqrt(p); i > 1; --i)if(!(p % (i * i))) {p /= i * i;u *= i;break; }int g = __gcd(u, q);u /= g;q /= g;if(u > 1)printf("%d*", u);if(p > 1)printf("sqrt(%d)", p);if(q > 1)printf("/%d", q);
}void work(int a, int b, int c) {delta = b * b - 4 * a * c;if(delta < 0) {puts("NO");return;}sq = sqrt(delta);if(sq * sq == delta) {x1 = 1.0 * (-b + sq) / 2 * a;x2 = 1.0 * (-b - sq) / 2 * a;if(x1 > x2)print_division(-b + sq, 2 * a);elseprint_division(-b - sq, 2 * a);puts("");return;}if(b) {print_division(-b, 2 * a);putchar('+');}print_sqrt(delta, 2 * a);puts("");
}int main() {scanf("%d%d", &T, &m);while(T-- && scanf("%d%d%d", &a, &b, &c))work(a, b, c);return 0;
}

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