简介

奇异函数是一类不连续函数，可用麦考利括号表示为

$$f(t)=<t-t_0{>}^n$$

当$n<0$时，记$N=-n-1\ge 0$，奇异函数可表示为Dirac函数的导数$\frac{{\text{d}}^N\delta (t-t_0)}{\text{d}{t}^N}$。特别地，当$n=-1$时，$N=0$，则奇异函数等价于Dirac函数$\delta (t-t_0)$。

当$n\ge 0$时，可用阶跃函数表示$(t-t_0{)}^n\theta (t-t_0)$，当$n=0$时，奇异函数即等于阶跃函数$\theta (t-t_0)$。

SingularityFunction

sympy中实现了奇异函数，有三个输入参数，依次表示公式中的$t,t_0,n$

SingularityFunction(variable, offset, exponent)

由于当$n=-1$时，奇异函数等价于狄拉克函数，下面做一个测试

from sympy import SingularityFunctionfor t in range(10):s = SingularityFunction(t,2,-1)print(f"f({t},2,-1)={s}")

由其输出可知，只有当$t=2$时，$f(2,2,-1)=oo$，否则均为0。

若取$n=0$，则奇异函数等价于阶跃函数，示例如下

from sympy.abc import x, a, n, plots = SingularityFunction(x,2,0)
plot(s, xlim=(-5,5), ylim=(0,2))

rewrite

考虑到奇异函数和Dirac函数、阶跃函数的密切关系，SingularityFunction内置了rewrite方法，可用这两个函数来重新表达

from sympy import print_latex
expr = SingularityFunction(x, a, 5)
print_latex(expr)
print_latex(expr.rewrite(Heaviside))

打印结果如下

• ${⟨-a+x⟩}^5$
• ${\left(-a+x\right)}^5\theta \left(-a+x\right)$

若$n<0$，则示例如下

expr = SingularityFunction(x, a, -2)
print_latex(expr)
print_latex(expr.rewrite(DiracDelta))

• ${⟨-a+x⟩}^{-2}$
• $-{\delta }^{\left(1\right)}\left(a-x\right)$