在日益数据驱动的世界中，被称为小波的数学工具已成为分析和理解信息不可或缺的方法。许多研究人员以连续信号的形式接收他们的数据，这意味着随着时间的推移，信息流不断演变，例如地球物理学家聆听从地下岩层反弹的声波，或者数据科学家研究通过扫描图像获得的电数据流。这些数据可以呈现出许多不同的形状和模式，因此很难将它们作为一个整体进行分析，或者将它们拆开并研究它们的片段，但小波可以提供帮助。

小波是具有不同频率范围和形状的短波状振荡的表示。由于它们可以采取多种形式（几乎任何频率、波长和特定形状都是可能的），研究人员可以使用它们来识别和匹配几乎任何连续信号中的特定波型。由于其广泛的多功能性，小波彻底改变了图像处理、通信和科学数据流中复杂波现象的研究。

“事实上，很少有数学发现像小波那样对我们的技术社会产生如此大的影响，”约翰霍普金斯大学（Johns Hopkins University）的理论物理学家阿米尔-霍马尤恩·纳吉米（Amir-Homayoon Najmi）说。“小波理论为统一框架中的许多应用打开了大门，强调速度、稀疏性和准确性，这在以前是根本无法实现的。”

小波的出现是对一种非常有用的数学技术的更新，称为傅里叶变换。1807年，约瑟夫·傅立叶（Joseph Fourier）发现，任何周期函数（其值循环重复的方程）都可以表示为正弦和余弦等三角函数的总和。这被证明是有用的，因为它允许研究人员将信号流分成其组成部分，例如，使地震学家能够根据反射声波中不同频率的强度来识别地下结构的性质。

因此，傅里叶变换直接导致了科学研究和技术中的许多应用。但是小波可以提高精度。“小波为去噪、图像恢复和图像分析方面的许多改进打开了大门，”比利时皇家天文台的应用数学家和天体物理学家Véronique Delouille说，他使用小波来分析太阳的图像。

这是因为傅里叶变换有一个主要的局限性：它们只提供有关信号中存在的频率的信息，而没有说明它们的时间或数量。就好像你有一个过程来确定一堆现金中有哪些类型的钞票，而不是每种钞票的实际数量。“小波确实解决了这个问题，这就是为什么它们如此有趣，”瑞士洛桑联邦理工学院院长马丁·维特利（Martin Vetterli）说。

匈牙利物理学家丹尼斯·加博尔（Dennis Gabor）首次尝试解决这个问题，他在1946年建议在应用傅里叶变换之前将信号切成短的、时间局域化的片段。然而，这些很难在频率分量变化剧烈的更复杂的信号中进行分析。这促使地球物理工程师让·莫莱特（Jean Morlet）开发使用时间窗来研究波，时间窗的长度取决于频率：信号的低频段为宽窗口，高频段为窄窗口。

但这些窗口仍然包含混乱的现实频率，很难分析。因此，Morlet 想到了将每个片段与数学上可以很好地理解的相似波相匹配的想法。这使他能够掌握这些部分的整体结构和时间，并更准确地探索它们。在 1980 年代初期，Morlet 将这些理想化的波浪模式命名为 “ondelettes”，法语意为“小波”——字面意思是“小波浪”——因为它们的外观。因此，可以将信号切割成更小的区域，每个区域都以特定波长为中心，并通过与匹配的小波配对进行分析。现在面对一堆现金，回到前面的例子，我们会知道它包含的每种钞票有多少。

粗略地说，假设在原始信号上滑动特定频率和形状的特定小波，每当有特别好的匹配时，它们之间的数学运算（称为点积）就会变成零，或者非常接近零。通过使用不同频率的小波扫描整个信号，可以拼凑出整个信号序列的可靠图像，从而进行彻底的分析。

对小波的研究发展迅速。法国数学家伊夫·迈耶（Yves Meyer）是巴黎高等师范学院的教授，当时他正在复印机前等待轮到他，这时一位同事向他展示了莫雷特和理论物理学家亚历克斯·格罗斯曼（Alex Grossmann）关于小波的论文。迈耶立刻被迷住了，并乘坐第一班火车前往马赛，在那里他开始与格罗斯曼和莫莱特以及数学家和物理学家英格丽德·多贝西斯（现就职于杜克大学）合作。迈耶后来因其在小波理论方面的工作而获得阿贝尔奖。

几年后，宾夕法尼亚州立大学一位名叫斯蒂芬·马拉特（Stéphane Mallat）的研究生在海滩上遇到了一位老朋友。这位朋友是迈耶在巴黎的研究生，他向马拉特介绍了他们在小波方面的研究。Mallat 立即了解了 Meyer 的工作对他自己的研究的重要性，并迅速与 Meyer 合作。1986年，他们发表了一篇关于小波在图像分析中的应用的论文。最终，这项工作导致了JPEG2000的发展，这是一种在世界范围内使用的图像压缩形式。该技术用小波分析扫描图像的信号，以产生总体上比原始图像小得多的像素集合，同时仍然允许以原始分辨率重建图像。当技术限制限制了非常大的数据集的传输时，这种技术被证明是有价值的。

小波之所以如此有用，部分原因在于它们的多功能性，这使得它们几乎可以解码任何类型的数据。“小波有很多种，你可以挤压它们，拉伸它们，你可以使它们适应你所看到的实际图像，”比利时鲁汶天主教大学的数学工程师Daan Huybrechs说。数字化图像中的波形在许多方面可能有所不同，但小波始终可以被拉伸或压缩，以匹配具有较低或较高频率的信号部分。波型的形状也可以发生巨大变化，但数学家已经开发了具有不同波长尺度和形状的不同类型或“家族”小波来匹配这种可变性。

最著名的小波家族之一是Daubechies母小波，其成员具有自相似的分形结构，具有较大的不对称峰模拟较小的峰复制。事实证明，这些小波对图像分析非常敏感，以至于专家们用它们来区分文森特梵高的原画和赝品。其他以其形状而闻名的小波家族包括墨西哥帽，具有一个中心最大值和两个相邻最小值，以及 Coiflet 小波（以耶鲁大学数学家 Ronald Coifman 的名字命名），类似于墨西哥帽，但具有尖锐的峰值而不是平坦的区域。这些对于捕获和消除科学仪器生成的图像、声音信号和数据流中不需要的噪声尖峰非常有用。

除了用于分析声音信号和图像处理外，小波还是基础研究的工具。它们可以帮助研究人员一次分析整个数据集，从而发现科学数据中的模式。“我总是让我印象深刻，这些应用是多么多样化，”Huybrechs说。“小波有一些东西使它们成为查看数据的’正确’方式，”无论它是什么类型的数据，都是如此。

参考：
https://www.wired.com/story/how-wavelets-let-researchers-transform-and-understand-data/