重积分

$$\begin{gathered} 二重积分计算法： \\ 直角坐标下：化为二次积分 \\ \{\begin{array}{l}如果图形是XY型，则都可以，但要考虑哪个计算不定积分方便\\ 如果图形既不是X也不是Y型，则要拆分\end{array} \\ 极坐标下： \\ \iint f(x,y)dxdy=\iint f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho d\rho d\theta \\ 三重积分计算法： \\ 利用直角坐标、利用柱面坐标 \end{gathered}$$

重积分的应用（曲面的面积）

【图1】

$$\begin{gathered} 曲面的面积元素的推导过程： \\ 曲面方程为z=f(x,y) \\ 曲面的面积微元可用对应切平面的面积近似代替 \\ 如图1所示，dA=\frac{d\sigma }{\cos \gamma }，dA就是曲面的面积微元，d\sigma 是切平面投影在xOy面上的区域 \\ 而\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}} \\ 因此dA=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}d\sigma =\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy \end{gathered}$$

曲线积分

对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）： ∫ L f ( x , y ) d s = ∫ α β f [ φ ( t ) , ψ ( t ) ] φ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t （ α < β ） 对坐标的曲线积分（第二类曲线积分，要注意方向）： ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ α β { P [ φ ( t ) , ψ ( t ) ] φ ′ ( t ) + Q [ φ ( t ) , ψ ( t ) ] ψ ′ ( t ) } d t 线积分与路径无关，只与起点和终点有关 两类曲线积分的关系： ∫ L P d x + Q d y = ∫ L ( P cos ⁡ α + Q cos ⁡ β ) d s ∫ Γ A ⋅ d r = ∫ Γ A ⋅ τ d s ， A = ( P , Q ) , τ = ( cos ⁡ α , cos ⁡ β ) , d r = d s ⋅ τ = ( d x , d y ) 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）：\\ \int_Lf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t),\psi(t)]\sqrt{\varphi ^{\prime2}(t)+\psi^{\prime2}(t)}dt（\alpha<\beta）\\ \,\\ 对坐标的曲线积分（第二类曲线积分，要注意方向）：\\ \int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_\alpha^\beta \{P[\varphi(t),\psi(t)]\varphi^{\prime}(t)+Q[\varphi(t),\psi(t)]\psi^{\prime}(t)\}dt \\ \,\\ 线积分与路径无关，只与起点和终点有关 \\ \,\\ 两类曲线积分的关系：\\ \int_LPdx+Qdy=\int_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta)ds \\ \int_\Gamma A\cdot dr=\int_\Gamma A\cdot \tau ds，A=(P,Q),\tau=(\cos \alpha,\cos \beta),dr=ds\cdot \tau=(dx,dy) 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）：∫L​f(x,y)ds=∫αβ​f[φ(t),ψ(t)]φ′2(t)+ψ′2(t) ​dt（α<β）对坐标的曲线积分（第二类曲线积分，要注意方向）：∫L​P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβ​{P[φ(t),ψ(t)]φ′(t)+Q[φ(t),ψ(t)]ψ′(t)}dt线积分与路径无关，只与起点和终点有关两类曲线积分的关系：∫L​Pdx+Qdy=∫L​(Pcosα+Qcosβ)ds∫Γ​A⋅dr=∫Γ​A⋅τds，A=(P,Q),τ=(cosα,cosβ),dr=ds⋅τ=(dx,dy)

格林公式

$$\begin{gathered} 定理1（格林公式）： \\ {\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy={\oint }_{L}Pdx+Qdy \\ 定理2（平面上曲线积分与路径无关的条件）： \\ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} \\ 定理3（二元函数的全微分求积）： \\ P(x,y)dx+Q(x,y)dy为某一函数的全微分的充分必要条件是\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} \\ 二元函数全微分求积方法： \\ \{\begin{array}{l}用线积分求\\ 用偏积分求（都能求，比较快）\\ 用凑全微分法求（分组凑微分法，最快，但不一定都能求）\end{array} \\ 求曲线积分的方法： \\ \{\begin{array}{l}利用参数方程化为二重积分（往往比较复杂）\\ 利用格林公式（补线，围成闭区域）\\ 利用与路径无关，如转换路径，也不用补线了\\ 利用与路径无关、二元函数全微分求积，找出原函数，将起点值和终点值代入原函数相减\end{array} \end{gathered}$$

曲面积分

对面积的曲面积分（第一类曲面积分）： ∬ f ( x , y , z ) d S = ∬ f [ x , y , z ( x , y ) ] 1 + z x 2 + z y 2 d x d y 对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）： ∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z + Q ( x , y , z ) d x d z + R ( x , y , z ) d x d y ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y = ± ∬ D x y R [ x , y , z ( x , y ) ] d x d y 两类曲面积分的关系： ∬ Σ P d y d z + Q d x d z + R d x d y = ∬ Σ P cos ⁡ α + Q cos ⁡ β + R cos ⁡ γ d S ∬ Σ A ⋅ d S = ∬ Σ A ⋅ n d S = ∬ Σ A n d S ， A = ( P , Q , R ) ， n 是单位法向量 ( cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ ) ， d S = n d S = ( d y d z , d x d z , d x d y ) 为有向曲面元， A n 为 A 在 n 上的投影 归一法： 设曲面可化为 z = f ( x , y ) ，且法向量朝 z 轴正向， 由于 d z d x = − f x ， d z d y = − f y 则 ∬ Σ P d y d z + Q d x d z + R d x d y = ∬ Σ { P [ x , y , f ( x , y ) ] ( − f x ) + Q [ x , y , f ( x , y ) ] ( − f y ) + R [ x , y , f ( x , y ) ] } d x d y 当法向量朝 z 轴负向时，其分别为 + f x 、 + f y 、 − 1 或 ∬ Σ P cos ⁡ α + Q cos ⁡ β + R cos ⁡ γ d S = ∬ Σ ( P − f x 1 + f x 2 + f y 2 + Q − f y 1 + f x 2 + f y 2 + R 1 1 + f x 2 + f y 2 ) 1 + f x 2 + f y 2 d x d y 对面积的曲面积分（第一类曲面积分）：\\ \iint f(x,y,z)dS=\iint f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy \\ \,\\ 对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）：\\ \iint_\Sigma P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy \\ \iint_\Sigma R(x,y,z)dxdy=\pm\iint_{D_{xy}}R[x,y,z(x,y)]dxdy \\ \,\\ 两类曲面积分的关系：\\ \iint_\Sigma Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=\iint_\Sigma P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma dS \\ \iint_\Sigma \textbf{A} \cdot d\textbf{S}=\iint_\Sigma \textbf{A}\cdot \textbf{n}dS=\iint_\Sigma A_ndS，\\ \textbf{A}=(P,Q,R)，\textbf{n}是单位法向量(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)，\\ d\textbf{S}=\textbf{n}dS=(dydz,dxdz,dxdy)为有向曲面元，A_n为\textbf{A}在\textbf{n}上的投影 \\ \,\\ 归一法：\\ 设曲面可化为z=f(x,y)，且法向量朝z轴正向，\\ 由于\frac{dz}{dx}=-f_x，\frac{dz}{dy}=-f_y \\ 则\iint_\Sigma Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=\\ \iint_\Sigma \{P[x,y,f(x,y)](-f_x)+Q[x,y,f(x,y)](-f_y)+R[x,y,f(x,y)]\}dxdy \\ 当法向量朝z轴负向时，其分别为+f_x、+f_y、-1 \,\\ 或\\ \iint_\Sigma P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma dS= \\ \iint_\Sigma (P\frac{-f_x}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}+Q\frac{-f_y}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}+R\frac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}) \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy 对面积的曲面积分（第一类曲面积分）：∬f(x,y,z)dS=∬f[x,y,z(x,y)]1+zx2​+zy2​ ​dxdy对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）：∬Σ​P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy∬Σ​R(x,y,z)dxdy=±∬Dxy​​R[x,y,z(x,y)]dxdy两类曲面积分的关系：∬Σ​Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=∬Σ​Pcosα+Qcosβ+RcosγdS∬Σ​A⋅dS=∬Σ​A⋅ndS=∬Σ​An​dS，A=(P,Q,R)，n是单位法向量(cosα,cosβ,cosγ)，dS=ndS=(dydz,dxdz,dxdy)为有向曲面元，An​为A在n上的投影归一法：设曲面可化为z=f(x,y)，且法向量朝z轴正向，由于dxdz​=−fx​，dydz​=−fy​则∬Σ​Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=∬Σ​{P[x,y,f(x,y)](−fx​)+Q[x,y,f(x,y)](−fy​)+R[x,y,f(x,y)]}dxdy当法向量朝z轴负向时，其分别为+fx​、+fy​、−1或∬Σ​Pcosα+Qcosβ+RcosγdS=∬Σ​(P1+fx2​+fy2​ ​−fx​​+Q1+fx2​+fy2​ ​−fy​​+R1+fx2​+fy2​ ​1​)1+fx2​+fy2​ ​dxdy