【爱创大师】【数学】一元一次方程的实现

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问题引入：

同学们还记得啥是一元一次方程吗，来回顾一下定义

一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。一元一次方程只有一个根。一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。 [1]

一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期 [1]。公元820年左右，数学家花拉子米在《对消与还原》一书中提出了“合并同类项”、“移项”的一元一次方程思想。16世纪，数学家韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题 [2]。1859年，数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程 [1]。

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数学中常见的方程

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二元一次方程

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。所有二元一次方程都可化为ax+by+c=0（a、b≠0）的一般式与ax+by=c（a、b≠0）的标准式，否则不为二元一次方程。但是，若在平面直角坐标系中，例如直线方程“x=1”，直线上每一个点的横坐标x都有与其相对应的纵坐标y，这种情况下“x=1”是二元一次方程。此时，二元一次方程一般式满足ax+by+c=0（a、b不同时为0）。适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。每个二元一次方程都有无数对方程的解，由二元一次方程组成的二元一次方程组才可能有唯一解，二元一次方程组常用加减消元法或代入消元法转换为一元一次方程进行求解。

一元一次方程

一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。一元一次方程只有一个根。一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期。公元820年左右，数学家花拉子米在《对消与还原》一书中提出了“合并同类项”、“移项”的一元一次方程思想。16世纪，数学家韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题。1859年，数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程。

三元一次方程

三元一次方程是含有三个未知数并且未知数的项的次数都是1的方程，也就是含有3个未知数的一次方程，其一般形式为ax+by+cz=d。由多个一元一次方程组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组，其求解方法一般为利用消元思想使三元变二元，再变一元。

常见的整式方程类型

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一元一次方程

一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。一元一次方程只有一个根。一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期。公元820年左右，数学家花拉子米在《对消与还原》一书中提出了“合并同类项”、“移项”的一元一次方程思想。16世纪，数学家韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题。1859年，数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程。

一元二次方程

通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）。

二元一次方程

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。所有二元一次方程都可化为ax+by+c=0（a、b≠0）的一般式与ax+by=c（a、b≠0）的标准式，否则不为二元一次方程。但是，若在平面直角坐标系中，例如直线方程“x=1”，直线上每一个点的横坐标x都有与其相对应的纵坐标y，这种情况下“x=1”是二元一次方程。此时，二元一次方程一般式满足ax+by+c=0（a、b不同时为0）。适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。每个二元一次方程都有无数对方程的解，由二元一次方程组成的二元一次方程组才可能有唯一解，二元一次方程组常用加减消元法或代入消元法转换为一元一次方程进行求解。

二元二次方程

二元二次方程是指含有两个未知数，并且含有未知数项的最高次数是二的整式方程。其一般式为ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0。(a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不是零；当b=0时，a与d以及c与e分别不全为零；当a=0时，c、e至少一项不等于零，当c=0时，a、d至少一项不为零)。

中文名

一元一次方程

外文名

linear equation with one unknown

标准形式

ax+b=0或ax=b（a≠0）

类型

整式方程、线性方程

创立者

韦达

学科

数学

目录

1历史溯源
2概念定义
3求根方法

▪一般方法
▪求根公式法
▪图像法
4研究应用

▪基本应用
▪问题举例
5价值意义

历史溯源

播报

编辑

一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期。 [1]

花拉子米

约公元前1650年，古埃及的莱因德纸草书中记载了第24题，题目为：“一个量，加上它的

等于19，求这个量。”解决了形为

的一次方程，即单假设法解决问题。

公元前1世纪左右，中国人在《九章算术》中首次加入了负数，并提出了正负数的运算法则，解决了移项问题。在“盈不足”一章中提出了盈不足术。但该方法并没有被用来解决一元一次方程。在11～13世纪时传入阿拉伯地区，并被称为“契丹算法”。

9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在《对消与还原》中给出了解方程的简单可行的基本方法，即“还原”和“对消”。但没有采用字母符号。体现了明显的方程的思想。

12世纪，印度数学家婆什迦罗在《丽拉沃蒂》一书中用假设法（设未知数）来解决一类一元一次方程。由于所假设的数可以是任意正数，婆什迦罗称上述方法为“任意数算法”。

韦达

13世纪，中国的盈不足术传入欧洲，意大利数学家斐波那契在《计算之书》中利用单假设和双假设法来解一元一次方程。

16世纪时，韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题，也创立了这一概念，被尊称为“现代数学之父”。但是韦达没有接受负数。

16世纪时，明代数学家程大位（1533-1606）在《算法统宗》一书中也用假设法来解一元一次方程。

1859年，中国数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程。 [1]

概念定义

播报

编辑

只含有一个未知数，且未知数的高次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程（linear equation with one unknown）。 [1]其一般形式是：

有时也写作：

可以通过等式性质化简而成为一元一次方程的整式方程（如

）也属于一元一次方程。一元一次方程是一种线性方程，且只有一个根。

求根方法

播报

编辑



一般方法

解一元一次方程有五步，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，所有步骤都根据整式和等式的性质进行。 [1]

以解方程

为例：

去分母，得：

去括号，得：

移项，得：

合并同类项，得：（常简写为“合并，得：”）

系数化为1，得：

在一元一次方程中，去分母一步通常乘以各分母的最小公倍数，如果分母为分数，则可化为该一项的其他部分乘以分母上分数的倒数的形式。 [2]

以方程

为例：消除分母上的分数，可化简为：

进而得出方程的解。

如果分母上有无理数，则需要先将分母有理化。

求根公式法

基本公式

对于关于

的一元一次方程

，其求根公式为：

推导过程

解：移项，得：

系数化为1，得：

图像法

图1 一次函数

对于关于

的一元一次方程

可以通过做出一次函数

来解决。一元一次方程

的根就是它所对应的一次函数

函数值为0时，自变量

的值。即一次函数图象与x轴交点的横坐标。 [3]以方程

为例：如图1，作出函数

的图象。由图像知函数图象与x轴交于点

可得原方程的根是



研究应用

播报

编辑



基本应用

一元一次方程通常可用于做数学应用题， [1]也可应用于物理、化学的计算。

如在生产生活中，通过已知一定的液体密度和压强，通过

公式代入解方程，进而计算液体深度的问题。例如计算大气压强约等于多高的水柱产生的压强，已知大气压约为100000帕斯卡，水的密度约等于1000千克每立方米，g约等于10米每二次方秒（10牛每千克），则可设水柱高度为h米，列方程得1000*10h=100000，解得h=10，即可得知大气压强约等于10米的水柱所产生的压强。

问题举例

丢番图问题

希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：

丢番图长眠于此，他的目标多么令人惊讶，它忠实地记录了他生命的轨迹：上帝给予的垂髫时光占六分之一，又过了十二分之一，髯须渐渐长出，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后弄璋之喜，儿子诞生。可怜迟来的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途。终于告别数学，离开了人世。

根据以上信息，算出：（1）丢番图的寿命；（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；（3）儿子死时丢番图的年龄。

解法：设丢番图的寿命x岁；

则

解得x=84,

丢番图开始当爸爸时的年龄：

儿子死时丢番图的年龄：84-4=80 [1]

鸡兔同笼问题

“鸡兔同笼问题”是我国古算书《孙子算经》中的数学问题，其内容是：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。” 译成现代汉语为：有若干只鸡和兔在同个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。笼中各有几只鸡和兔？ [4-5]

该问题可用一元一次方程解决，解法如下：

解法：设鸡有x只，兔有

只由题意得：

解得：x=23

兔的数量 35-x=12

答：鸡有23只，兔有12只。

有限循环小数化为分数问题

利用一元一次方程可以将一个有限循环小数化为分数，以

为例：设

，则

可算出

同时，该方法也可用来证明

的问题。 [1]

价值意义

播报

编辑

一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。如果仅使用算术，部分问题解决起来可能异常复杂，难以理解。而一元一次方程模型的建立,将能从实际问题中寻找等量关系，抽象成一元一次方程可解决的数学问题。例如在丢番图问题中，仅使用整式可能无从下手，而通过一元一次方程寻找作为等量关系的“年龄”，则会使问题简化。一元一次方程也可在数学定理的证明中发挥作用，如在初等数学范围内证明“0.9的循环等于1”之类的问题。通过验证一元一次方程解的合理性，达到解释和解决生活问题的目的，从一定程度上解决了一部分生产、生活中的问题。 [5]

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概述图册(2张)

词条图片(3张)

参考资料

1
教材编委会．《数学》七年级上册：．人民教育出版社．2012年．77-112
2
齐丹丹 , 洪燕君 , 汪晓勤．《中学数学月刊》．中学数学月刊杂志社．2016 ．42-45
3
教材编委会．《数学》八年级下册．人民教育出版社．2012．96
4
《孙子算经》卷下第31题：“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”
5
纪琰玲．《山东教育》．山东教育社．2015．30

代码实现：

#include <iostream>class LinearEquationSolver {
private:double a; // 系数adouble b; // 常数项bpublic:// 构造函数，用于初始化方程的系数和常数项LinearEquationSolver(double a, double b) : a(a), b(b) {}// 解方程的方法double solve() {if (a == 0) {// 如果a为0，则方程无解或有无穷多解（在此实现中，我们假设无解）throw std::runtime_error("Error: Coefficient a cannot be zero.");}return -b / a; // 返回解}// 一个辅助函数，用于打印方程的解void printSolution() {try {double solution = solve();std::cout << "The solution to the equation is: x = " << solution << std::endl;} catch (const std::exception& e) {std::cout << "Error: " << e.what() << std::endl;}}
};int main() {// 示例：求解方程 2x + 4 = 0LinearEquationSolver solver(2, 4); solver.printSolution(); // 应该输出: The solution to the equation is: x = -2// 示例：尝试求解一个无效的方程（a为0）LinearEquationSolver invalidSolver(0, 4);invalidSolver.printSolution(); // 应该输出错误信息return 0;
}

代码解释：

这段代码是用C++语言编写的，它定义了一个名为LinearEquationSolver的类，用于解决一元一次方程（ax + b = 0）的解。这个类包含了私有成员变量a和b，分别表示方程中的系数和常数项。此外，它还提供了以下几个主要功能和特点：

构造函数：LinearEquationSolver(double a, double b)是一个构造函数，它接受两个double类型的参数，分别用于初始化成员变量a和b。这使得在创建LinearEquationSolver对象时，可以直接指定要解决的方程的系数和常数项。
解方程的方法：double solve()是一个公共成员函数，用于计算并返回一元一次方程的解。如果系数a为0（表示方程无解或有无穷多解，但在此实现中假设为无解），则函数会抛出一个std::runtime_error异常。如果a不为0，则函数返回解-b/a。
打印解的辅助函数：void printSolution()是一个公共成员函数，它尝试调用solve()方法来获取方程的解，并打印出来。为了处理solve()方法可能抛出的异常，这个函数使用了try-catch语句块来捕获并处理异常。如果捕获到异常，它会打印出异常信息；否则，它会打印出方程的解。
异常处理：在solve()方法和printSolution()方法中，都使用了C++的异常处理机制。当a为0时，solve()方法会抛出一个std::runtime_error异常，而printSolution()方法通过捕获这个异常并打印异常信息来处理它。
主函数：int main()函数演示了如何使用LinearEquationSolver类来求解两个一元一次方程：一个是有效的方程（2x + 4 = 0），另一个是无效的方程（因为a为0）。