题目要求

给定一个有 n 个节点的有向无环图，节点编号从 1 到 n。请编写一个函数，找出并返回所有从节点 1 到节点 n 的路径。每条路径应以节点编号的列表形式表示。

输入描述

第一行包含两个整数 N，M，表示图中拥有 N 个节点，M 条边

后续 M 行，每行包含两个整数 s 和 t，表示图中的 s 节点与 t 节点中有一条路径

输出描述

输出所有的可达路径，路径中所有节点之间空格隔开，每条路径独占一行，存在多条路径，路径输出的顺序可任意。如果不存在任何一条路径，则输出 -1。

注意输出的序列中，最后一个节点后面没有空格！ 例如正确的答案是 `1 3 5`,而不是 `1 3 5 `， 5后面没有空格！

输入示例

5 5
1 3
3 5
1 2
2 4
4 5

 

输出示例

1 3 5
1 2 4 5

思路 

首先要知道图应该怎么存储，然后是通过搜索的方法找出所有的边。

图的存储

邻接矩阵

本题有n个节点，节点标号从1开始，为了对其标号和下标，我们申请n+1*n+1这么大的二维数组。

vector<vector<int>> graph(n + 1, vector<int>(n + 1, 0));

输入m个边，构造方式如下：

while(m--) {cin >> s >> t;// 使用邻接矩阵，1表示节点s指向节点tgraph[s][t] = 1;
}

邻接表

采用数组+链表的形式来表示。

vector<list<int>> graph(n + 1); // 邻接表，list为C++里的链表，初始时没有申请空间，随用随取// 输入m个边
while(m--) {cin >> s >> t;// 使用邻接表，表示s —> t是相连的graph[s].push_back(t);
}

深度优先搜索

深搜三部曲：1.确认递归函数、参数， 2.确认终止条件，3.处理目前搜索节点出发的路径

1. 确认递归函数、参数

首先dfs函数一定要存一个图，用来遍历，需要存一个目前我们遍历的节点，定义为x。

还需要存储终点位置n，当x==n时表示到达了终点。

至于 单一路径 和 路径集合（答案）可以放在全局变量。

vector<vector<int>> result; // 收集符合条件的路径
vector<int> path; // 0节点到终点的路径
// x：目前遍历的节点
// graph：存当前的图
// n：终点
void dfs (const vector<vector<int>>& graph, int x, int n) {

 2. 确认终止条件

当目前遍历的节点为最后一个节点n的时候，就找到了一条从出发点到终止点的路径。

// 当前遍历的节点x，到达节点n
if (x == n) { // 找到符合条件的一条路径result.push_back(path);return;
}

3. 处理目前搜索节点出发的路径

接下来时走当前遍历节点x的下一个节点。

// 找到节点x指向哪些节点
for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 遍历节点x链接的所有节点if (graph[x][i] == 1) { // 找到x指向的节点就是i// 将x所指向的节点加入到单一路径中path.push_back(i);// 进入下一层递归dfs(graph, i, n);// 回溯过程，撤销本次添加节点的操作path.pop_back();}
}

打印结果

注意结尾没有空格

// 输出结果
if (result.size() == 0) cout << -1 << endl;
for (const vector<int> &pa : result) {for (int i = 0; i < pa.size() - 1; ++i) { // 打印到倒数第二个cout << pa[i] << " ";}cout << pa[pa.size() - 1] << endl;
}

本题代码

C++邻接矩阵写法

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;void dfs(const vector<vector<int>>& graph, int x, int n) {if (x == n) {result.push_back(path);return;}for (int i = 1; i <= n; ++i) {if (graph[x][i] == 1) {path.push_back(i);dfs(graph, i, n);path.pop_back();}}
}int main() {int n, m, s, t;cin >> n >> m;vector<vector<int>> graph(n + 1, vector<int>(n + 1, 0));for (int i = 1; i <= m; ++i) {cin >> s >> t;graph[s][t] = 1;}path.push_back(1); // 注意：无论什么路径都是从节点0（1）出发dfs(graph, 1, n);if (result.size() == 0) cout << -1 << endl;for (const vector<int> &pa : result) {for (int i = 0; i < pa.size() - 1; ++i) {cout << pa[i] << " ";}cout << pa[pa.size() - 1] << endl;}
}

C++邻接表写法

#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
using namespace std;
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;void dfs(const vector<list<int>>& graph, int x, int n) {if (x == n) {result.push_back(path);return;}for (int i : graph[x]) {path.push_back(i);dfs(graph, i, n);path.pop_back();}
}int main() {int n, m, s, t;cin >> n >> m;vector<list<int>> graph(n + 1);while (m--) {cin >> s >> t;graph[s].push_back(t);}path.push_back(1); // 注意：无论什么路径都是从节点0（1）出发dfs(graph, 1, n);if (result.size() == 0) cout << -1 << endl;for (const vector<int> &pa : result) {for (int i = 0; i < pa.size() - 1; ++i) {cout << pa[i] << " ";}cout << pa[pa.size() - 1] << endl;}
}

Python邻接矩阵写法

def dfs(graph, x, n, path, result):if x == n:result.append(path.copy())returnfor i in range(1, n+1):if graph[x][i] == 1:path.append(i)dfs(graph, i, n, path, result)path.pop()def main():n, m = map(int, input().split())graph = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]for _ in range(m):s, t = map(int, input().split())graph[s][t] = 1result = []dfs(graph, 1, n, [1], result)if not result:print(-1)else:for path in result:print(' '.join(map(str, path)))if __name__ == "__main__":main()

Python邻接表写法(注意collections.defaultdict的使用)

from collections import defaultdictresult = []
path = []def dfs(graph, x, n, path, result):if x == n:result.append(path.copy())returnfor i in graph[x]:path.append(i)dfs(graph, i, n, path, result)path.pop()def main():n, m = map(int, input().split())graph = defaultdict(list)for _ in range(m):s, t = map(int, input().split())graph[s].append(t)result = []dfs(graph, 1, n, [1], result)if not result:print(-1)else:for pa in result:print(' '.join(map(str, pa)))if __name__ == "__main__":main()

Leetcode 797. All Paths From Source to Target  

题目也是一道有向无环的图的求所有起点到终点的路径问题，区别在于不需要调整输入输出。（题目中的图已经给出了邻接表的存储形式）

C++

class Solution {
public:vector<int> path;vector<vector<int>> result;void dfs(const vector<vector<int>>& graph, int x, int n) {if (x == n) {result.push_back(path);return;}for (int i : graph[x]) {path.push_back(i);dfs(graph, i, n);path.pop_back();}}vector<vector<int>> allPathsSourceTarget(vector<vector<int>>& graph) {path.push_back(0);dfs(graph, 0, graph.size() - 1);return result;    }
};

Python （注意列表是引用类型，后续修改会影响已经添加的路径，所以要用.copy()）

class Solution:def dfs(self, graph, x, n, path, result):if (x == n):result.append(path.copy())returnfor i in graph[x]:path.append(i)self.dfs(graph, i, n, path, result)path.pop()def allPathsSourceTarget(self, graph: List[List[int]]) -> List[List[int]]:path = []result = []path.append(0)self.dfs(graph, 0, len(graph) - 1, path, result)return result