微分方程

核心概念

含导数的方程或方程组
通解和特解的区别：有初值条件的通解称作特解
解析解和数值解的：解析解是通过代数或解析方法得到的精确解。它通常以闭式表达式或公式的形式存在；数值解是通过数值方法（如迭代算法）得到的近似解。

matlab中求解析解

定义syms y(x) 符号变量，
注意符号变量顾名思义就是一个符号，不代表任何一个变量或者向量
使用eq表示微分方程，注意等号==
选择性提供初值

一阶微分方程

%% 微分方程1
clear;clc;
syms y(x)%定义符号常量
%y-y'=2x
eq=y-diff(y,x)==2*x;%等号
dsolve(eq)
dsolve(eq,y(0)==3)

二阶微分方程

等价的写法diff(dy,x)==diff(diff(y,x))
不支持diff(y,x)(0)的初值形式

%% 微分方程2 二阶处理
clear;clc;
syms y(x)
%y''+4y'+29y=0
dy=diff(y,x);
eq=diff(dy,x)+4*diff(y,x)+29*y==0;
dsolve(eq)
dsolve(eq,[y(0)==0 dy(0)==1])%不支持diff(y,x)(0)

微分方程组–参数方程

使用列表作为参数

%% 微分方程3 多个微分方程组x(t),y(t)
clear;clc;
syms x(t) y(t)%不能有逗号
%x'(t)=y;y'(t)=-x;
eq1=diff(x,t)==y;
eq2=diff(y,t)==-x;
[xSol(t) ySol(t)]=dsolve([eq1,eq2],[x(0)==1 y(0)==1])

matlab数值解

一般使用ode45或ode15这个函数求解
注意传入参数不再是符号变量而是函数

matlab匿名函数

• 匿名函数的语法odefun1=@(x,y)-exp(x);

• 匿名函数就是odefun1=返回值类似的语法

ode45函数

不支持高阶微分方程
利用线代解微分方程组的方法，换元构造新的微分方程组降低阶数

将换元想象为列向量（分块矩阵）

ode45的返回值是自变量x和多个因变量组成的解矩阵

clear;clc;
odefun3=@(t,Y)[-2*Y(1)-5*(Y(2))+sin(t);Y(1)];
[x,y]=ode45(odefun3,[-2,2],[1;1]);%列向量形式
plot(x,y);