1. 基本概念

逻辑：事物间的因果关系。

逻辑运算：逻辑状态按照指定的某种因果关系继续推理的过程。

逻辑代数：描述客观事物逻辑关系的数学方法，又称布尔代数。

逻辑变量：逻辑代数中的变量。

二值逻辑中，变量的取值范围仅为0和1；且无大小、正负之分。

2. 基本运算符号

偶数个1异或得0；奇数个1异或得1。

偶数个0同或得1；奇数个0同或得0；

任意个0异或都得0；任意个1同或都得1。

异或、同或的分解：

• F₁ = A⊕B = A’B + AB’ = (AB + A’B’)’

• F₂ = A⊙B = AB +A’B’ = (A’B + AB’)’

3. 逻辑函数的表示

• 表示方法：

  真值表、函数式、逻辑图、卡诺图、时序图。

• 表示形式：

  与或表达式、异或表达式、与非表达式、或非表达式、与或非表达式等。

4. 逻辑代数的基本公式和常用公式

基本公式：

常用公式：

例（1）

证明 A + BC = (A + B)(A+ C)。（分别用公式法和真值表法证明）

1. 公式法

   右式 = AA + AB +AC + BC = A + AB + AC + BC = A·1 + AB + AC + BC 使用公式 A+0=0和A·1=A = A(1 + B + C) + BC = A + BC = 左式

2. 真值表法

   

   即 左式 = 右式

5. 基本定理

代入定理：

任何含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数，则此等式依然成立。

对偶定理与反演定理：

对偶定理和反演定理在使用中均不改变表达式的运算顺序，即该加括号的就加括号。

例（2）

6. 公式法化简

化简标准：项数最少，且每项的变量数最少。

例（3）

例（4）

7. 最小项

最小项指n个变量的逻辑函数中，包含全部n个变量的乘积项。即每个变量必须且只能出现一次，且只能是原变量或反变量其中一种形式。

• n个变量的函数有2ⁿ个最小项，记作m_i；
• 最小项编号i：各个输入变量取值看作二进制数，i为其二进制数对应的十进制数。

例（5）

例（6）

8. 卡诺图

卡诺图：

将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横、纵方向逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列所构成的图形。

相邻项：

两个最小项直接之间只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，也称为”逻辑相邻项“。

有几个输入变量就有几个相邻项

例（7）

常见卡诺图

卡诺图并不唯一。如 例（21）的 F(A,B,C) 的卡诺图也可为：

卡诺图化简法：

将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。

卡诺图化简步骤：

1. 画框；
2. 填1；
3. 画圈；
4. 出结果。

例（8）

画出 F(A,B,C)=∑m(1,5,7) 的卡诺图

例（9）

画出 F(A,B,C,D)=AB+CD+AC 的卡诺图

卡诺图化简的画圈规则 ：

• 圈越大越好；且每个圈中标1的方格数必须是2ⁱ个；
• 同一个方格可以同时画在几个圈内，但每个大圈内至少要有一个独立的方格，否则就是多余的圈；
• 不能漏画任何标1的方格。

诺图化简步骤 ：

1. 画框；
2. 填1；
3. 画圈；
4. 出结果。

例（10）

画出 F(A,B,C)=∑m(1,5,7) 的卡诺图

例（11）

画出 F(A,B,C,D)=AB+CD+AC 的卡诺图

卡诺图化简的画圈规则：

• 圈越大越好；且每个圈中标1的方格数必须是2ⁱ个；
• 同一个方格可以同时画在几个圈内，但每个大圈内至少要有一个独立的方格，否则就是多余的圈；
• 不能漏画任何标1的方格。
  —— writing by Pan Qifan(潘琦藩) ——