大家好，我是微学AI，今天给大家介绍一下人工智能算法工程师(中级)课程4-sklearn机器学习之回归问题与代码详解。回归分析是统计学和机器学习中的一种重要方法，用于研究因变量和自变量之间的关系。在机器学习中，回归算法被广泛应用于预测分析、趋势分析等领域。本文将介绍sklearn机器学习库中的一些常用回归算法，包括线性回归、Lasso回归、岭回归、多任务岭回归、核岭回归以及SVM-SVR模型。我们将分别介绍这些算法的数学原理和公式，并配套完整可运行代码。

sklearn机器学习中的回归介绍与代码详解

1. 线性回归

线性回归是最简单的回归算法，它假设因变量和自变量之间存在线性关系。线性回归的目标是找到一条直线，使得所有数据点到这条直线的距离之和最小。这个目标可以通过最小二乘法来实现。

线性回归的数学原理

线性回归的模型可以表示为：
$$y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+\cdots +{\beta }_n{x}_n+\epsilon$$
其中，$y$是因变量，$x_1,x_2,\dots ,x_n$是自变量，${\beta }_0,{\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$是模型参数，$\epsilon$是误差项。
最小二乘法的目标是最小化误差平方和：
$$J(\beta )=\sum _{i=1}^m(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2=\sum _{i=1}^m(y_i-({\beta }_0+{\beta }_1{x}_{i1}+{\beta }_2{x}_{i2}+\cdots +{\beta }_n{x}_{in}){)}^2$$
其中，$m$是样本数量，$y_i$是第$i$个样本的因变量值，${\hat{y}}_i$是第$i$个样本的预测值。

线性回归的代码实现

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error
import numpy as np
# 生成模拟数据
np.random.seed(0)
X = np.random.rand(100, 1)
y = 2 * X[:, 0] + 1 + np.random.randn(100) * 0.05
# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=0)
# 创建线性回归模型
model = LinearRegression()
# 训练模型
model.fit(X_train, y_train)
# 预测
y_pred = model.predict(X_test)
# 评估模型
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
print("Mean squared error: ", mse)

2. Lasso回归和岭回归

Lasso回归和岭回归是两种常用的正则化线性回归算法。它们在普通线性回归的基础上加入了正则化项，以避免过拟合问题。

Lasso回归和岭回归的数学原理

Lasso回归的模型可以表示为：
$$J(\beta )=\sum _{i=1}^m(y_i-({\beta }_0+{\beta }_1{x}_{i1}+{\beta }_2{x}_{i2}+\cdots +{\beta }_n{x}_{in}){)}^2+\alpha \sum _{j=1}^n|{\beta }_j|$$
岭回归的模型可以表示为：
$$J(\beta )=\sum _{i=1}^m(y_i-({\beta }_0+{\beta }_1{x}_{i1}+{\beta }_2{x}_{i2}+\cdots +{\beta }_n{x}_{in}){)}^2+\alpha \sum _{j=1}^n{\beta }_j^2$$
其中，$\alpha$是正则化参数。

Lasso回归和岭回归的代码实现

from sklearn.linear_model import Lasso, Ridge
# 创建Lasso回归模型
lasso_model = Lasso(alpha=0.1)
# 创建岭回归模型
ridge_model = Ridge(alpha=0.1)
# 训练模型
lasso_model.fit(X_train, y_train)
ridge_model.fit(X_train, y_train)
# 预测
lasso_pred = lasso_model.predict(X_test)
ridge_pred = ridge_model.predict(X_test)
# 评估模型
lasso_mse = mean_squared_error(y_test, lasso_pred)
ridge_mse = mean_squared_error(y_test, ridge_pred)
print("Lasso mean squared error: ", lasso_mse)
print("Ridge mean squared error: ", ridge_mse)

3. 多任务岭回归

多任务岭回归是岭回归的扩展，用于同时解决多个回归问题。这些问题通常是相关的，因此共享相同的特征空间，但有不同的目标值。

多任务岭回归的数学原理

多任务岭回归的目标是最小化以下目标函数：
$$J(\mathbf{B})=\frac{1}{2n}\sum _{i=1}^n{\Vert {\mathbf{y}}_i-{\mathbf{X}}_i\mathbf{B}\Vert }_2^2+\frac{\alpha }{2}\sum _{j=1}^k{\Vert {\mathbf{B}}_j\Vert }_2^2$$
其中，$\mathbf{B}$是一个$p\times k$的系数矩阵，$p$是特征数量，$k$是任务数量，${\mathbf{y}}_i$是第$i$个任务的因变量向量，${\mathbf{X}}_i$是第$i$个任务的自变量矩阵，$\alpha$是正则化参数。

多任务岭回归的代码实现

from sklearn.linear_model import MultiTaskLasso
# 假设我们有两个任务回归任务
X = np.random.rand(100, 10)
y = np.random.rand(100, 2)
# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=0)
# 创建多任务岭回归模型
multi_task_lasso = MultiTaskLasso(alpha=0.1)
# 训练模型
multi_task_lasso.fit(X_train, y_train)
# 预测
multi_task_pred = multi_task_lasso.predict(X_test)
# 评估模型
multi_task_mse = mean_squared_error(y_test, multi_task_pred)
print("Multi Task Lasso mean squared error: ", multi_task_mse)

4. 核岭回归

核岭回归是非线性回归方法，它使用核技巧将数据映射到高维空间，然后维空间中进行线性回归。

核岭回归的数学原理

核岭回归的目标函数为表示为：
$$J(\mathbf{w})=\frac{1}{2n}{\Vert \mathbf{Kw}-\mathbf{y}\Vert }_2^2+\frac{\alpha }{2}{\mathbf{w}}^T\mathbf{w}$$
其中，$\mathbf{K}$是核矩阵，$\mathbf{w}$是权重向量，$\mathbf{y}$是因变量向量，$\alpha$是正则化参数。

核岭回归的代码实现

from sklearn.kernel_ridge import KernelRidge
# 创建核岭回归模型
kernel_ridge = KernelRidge(kernel='rbf', alpha=1.0)
# 训练模型
kernel_ridge.fit(X_train, y_train.ravel())
# 预测
kernel_ridge_pred = kernel_ridge.predict(X_test)
# 评估模型
kernel_ridge_mse = mean_squared_error(y_test, kernel_ridge_pred)
print("Kernel Ridge mean squared error: ", kernel_ridge_mse)

5. SVM-SVR模型

支持向量回归（SVR）是支持向量机（SVM）在回归问题上的应用。SVR的目标是找到一个最优的超平面，使得所有数据点到这个超平面的距离之和最小。

SVM-SVR模型的数学原理

SVR的目标函数可以表示为：
$$\underset{\mathbf{w},b,\xi ,{\xi }^{\ast }}{\min }\frac{1}{2}{\Vert \mathbf{w}\Vert }^2+C\sum _{i=1}^n({\xi }_i+{\xi }_i^{\ast })$$
约束条件为：
$$\begin{array}{rl}{y}_i-{\mathbf{w}}^T\varphi ({\mathbf{x}}_i)-b& \le \epsilon +{\xi }_i\\ {\mathbf{w}}^T\varphi ({\mathbf{x}}_i)+b-y_i& \le \epsilon +{\xi }_i^{\ast }\\ {\xi }_i,{\xi }_i^{\ast }& \ge 0\end{array}$$
其中，$\mathbf{w}$是权重向量，$b$是偏置项，$\varphi ({\mathbf{x}}_i)$是将输入向量映射到高维空间的函数，$\xi$和${\xi }^{\ast }$是松弛变量，$C$是惩罚参数，$\epsilon$是容忍误差。

SVM-SVR模型的代码实现

from sklearn.svm import SVR
# 创建SVR模型
svr = SVR(kernel='rbf', C=1.0, epsilon=0.1)
# 训练模型
svr.fit(X_train, y_train.ravel())
# 预测
svr_pred = svr.predict(X_test)
# 评估模型
svr_mse = mean_squared_error(y_test, svr_pred)
print("SVR mean squared error: ", svr_mse)

总结

本文给大家展示了线性回归、Lasso回归、岭回归、多任务岭回归、核岭回归以及SVM-SVR模型在sklearn库中的实现。每个模型都包括了模型的创建、训练、预测和评估过程。在实际应用中，您需要根据具体问题选择合适的模型，并通过调整模型参数来优化模型性能。
sklearn库为各种回归算法提供了方便的接口，使得在Python中进行回归分析变得简单高效。通过理解和实践这些算法，您可以更好地解决实际问题，并在机器学习领域取得更好的成果。