本文为学习笔记，详细内容参考"Lessons in Play,Michael H. Albert Richard J. Nowakowski David Wolfe"

组合博弈介绍(Combinatorial Games)

本文介绍一些组合博弈(Combinatorial Games)的简单概念，~~不同于传统的枯燥的经济学博弈，组合博弈更有趣。~~文章中“博弈”和“游戏”是同一个意思。

DOMINEERING游戏

首先先了解一个叫做DOMINEERING的游戏，下面的一些例子基于这个游戏。

DOMINEERING：
有一个棋盘和一堆多米诺骨牌，每个多米诺牌正好可以覆盖棋盘中两个连续的格子。两个选手Louise和Richard轮流在棋盘上放多米诺牌，其中Louise只能竖着放多米诺，而Richard只能横着放。如果有一个选手不能再放多米诺骨牌，那这个选手就输了，游戏结束。

下图就是两个人在$4\times 6$的棋盘上的一局游戏。

组合游戏

在组合游戏中，有两名选手根据规则轮流进行操作。如果一名选手在他的回合内不能进行任何操作，游戏结束。在组合游戏中，没有任何随机的因素，两名选手对游戏局势（position）的所有细节都是了解的。在normal play中，最后一个操作的选手获胜，而在misere game play中第一个不能操作的选手获胜，即最后一个操作的选手会输掉游戏。

一般我们用position表示一个游戏的局势或状态。

选手介绍

一般参加组合游戏的两名选手被叫做Left(L)和Right(L)，两名选手可以进行的操作有时候相同，有时候不同。下面是经常出场的一些选手的位置：

Left	Right
Louise	Richard
Positive	Negative
bLack	White
bLue	Red
Vertical	Horizontal
Female	Male

除了上面的一些角色外，还有：
Alice，Bob：出现在无偏博弈(impartial game)中，这种游戏不区分Left和Right，双方可以执行的操作相同。

Options

在每一个回合开始时，当前回合的选手需要从可以选择的操作中选择一个进行操作。可选择的操作由游戏规则决定。其中Left可以执行的操作成为left options，Right可以执行的操作成为Right options。left options和right options加到一块就是当前position的options

博弈树（game tree）

我们可以用下面的方法画一颗博弈树：

• 创造一个节点表示初始position，为它的每一个option（left options 和 right options）能到达的position都画一个节点。然后把这个position和这些option连起来。
• 在延伸出的节点上重复这样的操作。

需要注意的是一样的节点也要画出来，如果把相同的节点合并，那么这个博弈树就转化成了博弈图。一般博弈树更常用些。
因为我们把每个操作后的局势当成一个独立的position，在博弈树中，连续的Left操作或Right操作都要被画出来。

下面就是一个博弈树的例子：