自动化机器学习——贝叶斯优化

贝叶斯优化是一种通过贝叶斯公式推断出目标函数的后验概率分布，从而在优化过程中不断地利用已有信息来寻找最优解的方法。在贝叶斯优化中，有两个关键步骤：统一建模和获得函数的优化。

1. 统一建模

在贝叶斯优化中，首先需要对目标函数进行建模，常用的建模方法包括：

高斯过程回归（Gaussian Process Regression）： 将目标函数视为一个高斯过程，通过已有数据点来估计目标函数的均值和方差，从而构建一个高斯过程模型。
随机森林（Random Forest）： 使用随机森林来拟合目标函数，通过集成多个决策树的预测结果来提高预测的准确性。
树形Parzen估计（Tree-structured Parzen Estimator，TPE）： 使用树形结构来建模目标函数的条件分布，通过分层的贝叶斯方法来进行优化。

2. 获得函数的优化

获得函数是贝叶斯优化中的另一个关键步骤，它将后验分布转换成一个可优化的目标函数，用于选择下一个采样点。常用的获得函数包括：

期望改善（Expected Improvement，EI）： 衡量当前最优解的期望改善程度，选择使期望改善最大的采样点作为下一个候选点。
置信区间优化（Confidence Bound，CB）： 基于后验分布的置信区间来选择采样点，通常选择置信区间上界最大的点作为下一个候选点。
概率改善（Probability of Improvement，PI）： 衡量当前最优解的概率改善程度，选择使概率改善最大的采样点作为下一个候选点。

示例代码

下面是一个简单的贝叶斯优化示例代码，使用高斯过程回归建模目标函数，并使用期望改善作为获得函数来选择下一个采样点。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 目标函数
def target_function(x):return np.sin(5 * x) / (1 + x**2)# 高斯过程回归计算目标函数后验分布的方法
def calculate_posterior_distribution(X_train, y_train, X_test):# 实现计算后验分布的方法pass# 贝叶斯优化的核心函数
def bayesian_optimization(objective_function, bounds, num_iterations=10):# 实现贝叶斯优化的核心算法pass# 运行贝叶斯优化算法
bounds = (-2, 2)
X_train, y_train = bayesian_optimization(target_function, bounds)# 可视化优化结果
x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = target_function(x)
plt.plot(x, y, label='Target Function')
plt.scatter(X_train, y_train, color='red', label='Optimization Points')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Bayesian Optimization Result')
plt.legend()
plt.show()