【六十】【算法分析与设计】用一道题目解决dfs深度优先遍历,dfs中节点信息,dfs递归函数模板进入前维护出去前回溯,唯一解的剪枝飞升返回值true

路径之谜

题目描述

小明冒充X星球的骑士,进入了一个奇怪的城堡。

城堡里边什么都没有,只有方形石头铺成的地面。

假设城堡地面是n×n个方格。如下图所示。

1e8908abd7eb470083d000bb49a7bab3.png

按习俗,骑士要从西北角走到东南角。可以横向或纵向移动,但不能斜着音走,也不能跳跃。每走到一个新方格,就要向正北

方和正西方各射一箭。(城堡的西墙和北墙内各有12个靶子)同一个方格只允许经过一次。但不必走完所有的方格。如果只

给出靶子上箭的数目,你能推断出骑士的行走路线吗?有时是可以的,比比如上图中的例子。

本题的要求就是已知箭靶数字,求骑士的行走路径(测试)数据保证路径唯一)

输入描述

第一行一个整数N(0<N<20),表示地面有NXN个方格。

第二行N个整数,空格分开,表示北边的箭靶上的数字(自西向东)

第三行N个整数,空格分开,表示西边的箭靶上的数字(自北向南)

输出描述

输出一行若干个整数,表示骑士路径。

为了方便表示,我们约定每个小格子用一个数字代表,从西北角开始编号号:0,1,2,3

比如,上图中的方块编号为:

0 1 2 3

4 5 6 7

8 9 10 11

12 13 14 15

输入输出样例

示例

输入

4

2 4 3 4

4 3 3 3

输出

0 4 5 1 2 3 7 11 10 9 13 14 15

运行限制

最大运行时间:5s

最大运行内存:256M

12c651f1c7234b9988867f9e74ddcf2e.png

暴力递归

1.

定义dfs(i,j)表示当前节点坐标。

假设入口位置坐标是(1,1),往下是row行,往右是col列。

定义row记录从入口到当前节点这条路径西边靶子的数量,row[1]表示西边第一个靶子上箭的数量,row[2]表示西边第二个靶子上箭的数量...以此类推。

定义col记录从入口到当前节点这条路径北边靶子的数量,col[1]表示北边第一个靶子上箭的数量,col[2]表示北边第二个靶子上箭的数量...以此类推。

定义path记录从入口到当前节点的路径信息。

定义visit记录从入口到当前节点,这条路径,当前所有位置访问情况,访问过为true,没有被访问过false。

2.

也就是当前节点的信息不止有(i,j)还有path,row,col,visit四个变量共同组成。

3.

dfs内部逻辑,进入当前节点的时候,维护当前节点的所有信息。

离开当前节点返回之前,回溯,消除当前节点维护的所有信息。

4.

夹在中间的就是计算逻辑,写代码的时候先把首位维护和回溯写掉,然后在中间加主要逻辑。

 
void dfs(int i, int j) {visit[i][j] = true;row[i]++;col[j]++;path.push_back((i - 1) * n + (j - 1));//数学推导不细说,找规律//添加主要逻辑path.pop_back();row[i]--;col[j]--;visit[i][j] = false;
}

 

5.

06e70e01efad4a72a6044d401aaf9bae.png

对于当前节点,下一个遍历的节点位置有四个,上下左右,但是有一些位置需要剪枝。

规则是,第一,这四个位置首先不能越界,第二,这四个位置不能被访问过,被访问过表示已经是路径上的点,已经走过了。如果满足要求就可以dfs进入下一节点。

 
void dfs(int i, int j) {visit[i][j] = true;row[i]++;col[j]++;path.push_back((i - 1) * n + (j - 1));for (int k = 0; k < 4; k++) {int x = i + dx[k], y = j + dy[k];if (x >= 1 && x <= n && y >= 1 && y <= n && !visit[x][y]) {dfs(x, y);}}path.pop_back();row[i]--;col[j]--;visit[i][j] = false;
}

 

6.

思考递归出口,递归出口是当你走到出口的时候,即i==n&&j==n。

此时遍历row和col,看看靶子上箭的数量是不是和aim_row,aim_col目标值对上。

如果对上了此时path里面存放的就是我们要的路径,打印出来即可。

如果没有对上就返回,不需要再进入下一节点了。

返回前注意需要回溯,消除维护操作。

 
void dfs(int i, int j) {visit[i][j] = true;row[i]++;col[j]++;path.push_back((i - 1) * n + (j - 1));if (i == n && j == n) {int flag = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (row[i] != aim_row[i] || col[i] != aim_col[i]) flag = 0;}if (flag == 1) {for (auto& x : path) cout << x << " ";}path.pop_back();row[i]--;col[j]--;visit[i][j] = false;return;}for (int k = 0; k < 4; k++) {int x = i + dx[k], y = j + dy[k];if (x >= 1 && x <= n && y >= 1 && y <= n && !visit[x][y]) {dfs(x, y);}}path.pop_back();row[i]--;col[j]--;visit[i][j] = false;
}

 

代码1

7.

此时得到的代码如下,

 
#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int n; // 定义n表示城堡地面是n×n个方格
vector<int> path; // 用于记录骑士的行走路径
vector<int> row; // 用于记录每行射出的箭的数量
vector<int> col; // 用于记录每列射出的箭的数量
vector<vector<int>> visit; // 记录某个格子是否被访问过
int dx[4] = { 1,-1,0,0 }; // 方向数组,用于实现上下左右移动
int dy[4] = { 0,0,1,-1 };
vector<int> aim_col; // 存储每列应该射出的箭的目标数量
vector<int> aim_row; // 存储每行应该射出的箭的目标数量// 深度优先搜索(DFS)函数,用于尝试所有可能的路径
void dfs(int i, int j) {visit[i][j] = true; // 标记当前格子为已访问row[i]++; // 当前行的箭数增加col[j]++; // 当前列的箭数增加path.push_back((i - 1) * n + (j - 1)); // 将当前格子编号加入路径// 如果到达东南角,并且每行每列的箭数都符合目标if (i == n && j == n) {int flag = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (row[i] != aim_row[i] || col[i] != aim_col[i]) flag = 0;}if (flag == 1) {for (auto& x : path) cout << x << " "; // 如果路径有效,输出这条路径}path.pop_back();row[i]--;col[j]--;visit[i][j] = false;return;}// 尝试向四个方向移动for (int k = 0; k < 4; k++) {int x = i + dx[k], y = j + dy[k];if (x >= 1 && x <= n && y >= 1 && y <= n && !visit[x][y]) {dfs(x, y);}}// 回溯,撤销当前步骤的影响path.pop_back();row[i]--;col[j]--;visit[i][j] = false;
}int main() {cin >> n; // 读入n的大小aim_col.resize(n + 1);for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> aim_col[i]; // 读入每列的目标箭数aim_row.resize(n + 1);for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> aim_row[i]; // 读入每行的目标箭数row.resize(n + 1);col.resize(n + 1);visit = vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(n + 1));dfs(1, 1); // 从西北角开始进行深度优先搜索return 0;
}

运行结果如下,

09945d723f644fc8a58e3ff7d6749755.png

剪枝1:唯一解找到即返回true(飞升)

8.

大部分运行超时,说明代码整体逻辑没有问题,但是剪枝操作没有做好。

重新思考剪枝操作。

题目中测试数据保证了路径的唯一性,说明我们只要找到了最终答案,就不需要回溯,后面的操作都不需要,找到最终答案就一路飞升回到第一层递归返回。

修改dfs的返回值,不使用void返回值,而使用int或者bool,意思是如果当前找到了就返回true,没有找到就返回false。

修改完返回值还需要修改进入下一层递归的代码,不能直接是dfs,而是if(dfs(x, y)) return true;

如果返回值是true说明找到了,如果找到了什么都不用管,直接返回true。

每一层节点都接收这个信息,有没有完成工作,有没有找到路径?找到了就可以不用再工作了,直接返回。

还需要修改递归出口的逻辑,flag==1说明找到了,打印完路径后直接返回true。

 
int dfs(int i, int j) {visit[i][j] = true;row[i]++;col[j]++;path.push_back((i - 1) * n + (j - 1));if (i == n && j == n) {int flag = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (row[i] != aim_row[i] || col[i] != aim_col[i]) flag = 0;}if (flag == 1) {for (auto& x : path) cout << x << " ";return true;}path.pop_back();row[i]--;col[j]--;visit[i][j] = false;return;}for (int k = 0; k < 4; k++) {int x = i + dx[k], y = j + dy[k];if (x >= 1 && x <= n && y >= 1 && y <= n && !visit[x][y]) {if(dfs(x, y)) return true;}}path.pop_back();row[i]--;col[j]--;visit[i][j] = false;return false;
}

 

代码2

9.

 
#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int n; // 城堡地面为n×n个方格的大小
vector<int> path; // 存储骑士的行走路径
vector<int> row; // 每行射箭的次数
vector<int> col; // 每列射箭的次数
vector<vector<int>> visit; // 标记方格是否访问过
int dx[4] = { 1,-1,0,0 }; // x方向的移动:下,上,不动,不动
int dy[4] = { 0,0,1,-1 }; // y方向的移动:不动,不动,右,左
vector<int> aim_col; // 目标,每列应射箭的次数
vector<int> aim_row; // 目标,每行应射箭的次数// 深度优先搜索(DFS)算法,i和j表示当前位置
int dfs(int i, int j) {visit[i][j] = true; // 标记当前方格为已访问row[i]++; // 当前行的射箭次数增加col[j]++; // 当前列的射箭次数增加path.push_back((i - 1) * n + (j - 1)); // 将当前方格的编号加入到路径中// 检查是否到达右下角,并且所有行和列的射箭次数都符合目标if (i == n && j == n) {int flag = 1; // 用于检查是否所有行和列的射箭次数都匹配for (int i = 1; i <= n; i++) {if (row[i] != aim_row[i] || col[i] != aim_col[i]) flag = 0;}if (flag == 1) {for (auto& x : path) cout << x << " "; // 如果匹配,输出路径cout << endl; // 输出换行return true; // 返回找到有效路径}}// 尝试四个可能的移动方向for (int k = 0; k < 4; k++) {int x = i + dx[k], y = j + dy[k];if (x >= 1 && x <= n && y >= 1 && y <= n && !visit[x][y]) {if (dfs(x, y)) return true; // 递归调用dfs}}// 回溯,撤销当前步骤path.pop_back();row[i]--;col[j]--;visit[i][j] = false;return false; // 没有找到有效路径
}int main() {cin >> n;aim_col.resize(n + 1);for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> aim_col[i]; // 输入每列的目标射箭次数aim_row.resize(n + 1);for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> aim_row[i]; // 输入每行的目标射箭次数row.resize(n + 1);col.resize(n + 1);visit = vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(n + 1, false)); // 初始化访问标记数组dfs(1, 1); // 从(1,1)开始深度优先搜索return 0;
}

运行结果如下,

a94fedcc6cc74cd2bcb5c4451d3fd699.png

剪枝2:靶子箭数量小于目标靶子箭数量

10.

说明这个剪枝操作微不足道,没什么用。

继续思考其他剪枝操作,我们发现如果到了一个节点,如果row,col中有一个靶子的箭数量大于目标靶子的箭数量,后面的路径都不可能是最终答案。

因为靶子上箭的数量不可能减少只能增加,所以到出口之前,如果是正确路径,靶子数量一定小于目标靶子数量。

所以如果靶子箭数量大于目标靶子箭数量,直接返回。

 
int dfs(int i, int j) {visit[i][j] = true;row[i]++;col[j]++;path.push_back((i - 1) * n + (j - 1));int flag1 = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (row[i] > aim_row[i] || col[i] > aim_col[i]) {flag1 = 0;break;}}if (flag1 == 0) {path.pop_back();row[i]--;col[j]--;visit[i][j] = false;return false;}if (i == n && j == n) {int flag = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (row[i] != aim_row[i] || col[i] != aim_col[i]) {flag = 0;break;}}if (flag == 1) {for (auto& x : path) cout << x << " ";return true;}else{path.pop_back();row[i]--;col[j]--;visit[i][j] = false;return false;}}for (int k = 0; k < 4; k++) {int x = i + dx[k], y = j + dy[k];if (x >= 1 && x <= n && y >= 1 && y <= n && !visit[x][y]) {if (dfs(x, y)) return true;}}path.pop_back();row[i]--;col[j]--;visit[i][j] = false;return false;
}

 

代码3

 
#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>  // 引入常用库,包含STL等
using namespace std;// 定义全局变量
int n;  // 地图大小
vector<int> path;  // 记录路径
vector<int> row;  // 记录每行走过的次数
vector<int> col;  // 记录每列走过的次数
vector<vector<int>> visit;  // 访问标记数组
int dx[4] = { 1,-1,0,0 };  // 方向数组,表示行的移动
int dy[4] = { 0,0,1,-1 };  // 方向数组,表示列的移动
vector<int> aim_col;  // 目标列的箭数
vector<int> aim_row;  // 目标行的箭数// 深度优先搜索函数
int dfs(int i, int j) {visit[i][j] = true;  // 标记当前单元格已访问row[i]++;  // 增加当前行的计数col[j]++;  // 增加当前列的计数path.push_back((i - 1) * n + (j - 1));  // 记录路径int flag1 = 1;// 检查所有行列是否满足条件for (int i = 1; i <= n; i++) {if (row[i] > aim_row[i] || col[i] > aim_col[i]) {flag1 = 0;break;}}if (flag1 == 0) {  // 如果条件不满足,则回退操作path.pop_back();row[i]--;col[j]--;visit[i][j] = false;return false;}// 检查是否到达最后一个方格if (i == n && j == n) {int flag = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (row[i] != aim_row[i] || col[i] != aim_col[i]) {flag = 0;break;}}if (flag == 1) {  // 如果满足最终条件,输出路径for (auto& x : path) cout << x << " ";return true;} else {  // 否则,进行回退操作path.pop_back();row[i]--;col[j]--;visit[i][j] = false;return false;}}// 遍历四个方向for (int k = 0; k < 4; k++) {int x = i + dx[k], y = j + dy[k];if (x >= 1 && x <= n && y >= 1 && y <= n && !visit[x][y]) {if (dfs(x, y)) return true;}}// 回退操作path.pop_back();row[i]--;col[j]--;visit[i][j] = false;return false;
}int main() {cin >> n;aim_col.resize(n + 1);for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> aim_col[i];  // 输入北边靶子箭数aim_row.resize(n + 1);for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> aim_row[i];  // 输入西边靶子箭数row.resize(n + 1);col.resize(n + 1);visit = vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(n + 1));  // 初始化访问矩阵dfs(1, 1);  // 从(1,1)开始搜索return 0;
}

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总结结论

1.

递归函数dfs,用同样的函数完成相同的逻辑问题,但是需要用其他遍历辅助判断当前位于那个节点。

vector<int> path;

vector<int> row;

vector<int> col;

vector<vector<int>> visit;

(i,j)

以上都是当前节点的信息。

2.

每一次进入dfs维护当前节点信息,每一次出去之前回溯,消除维护的信息。

 
void dfs(int i, int j) {visit[i][j] = true;row[i]++;col[j]++;path.push_back((i - 1) * n + (j - 1));//数学推导不细说,找规律//添加主要逻辑path.pop_back();row[i]--;col[j]--;visit[i][j] = false;
}

 

3.

如果只需要找唯一解,找到即返回,找到就不用工作,找到就飞升。

修改返回值,进入下一层逻辑,出口逻辑。

7401f170df974efcb1dc440636a9fd40.png

4.

剪枝操作提前返回,注意返回之前一定要回溯,也就是消除维护当前节点信息的操作!!!

结尾

最后,感谢您阅读我的文章,希望这些内容能够对您有所启发和帮助。如果您有任何问题或想要分享您的观点,请随时在评论区留言。

 

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