一、整数划分

1、定义

一个正整数 n可以表示成若干个正整数之和，形如：
$n=n_1+n_2+...+n_k$，其中$n_1\ge n_2\ge ...\ge n_k,k\ge 1$

举例：
假设要将$5$划分，以下是划分的情况：
$5=5$
$5=1+4$
$5=2+3$
$5=1+1+3$
$5=1+2+2$
$5=1+1+1+2$
$5=1+1+1+1+1$

2、完全背包的做法

状态表示：
$dp[i][j]$表示只从$1\sim i$中选，且总和等于$j$的方案数

状态转移方程：
$f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-i]$
其中$f[i-1][j]$指的是当物品装不进背包时，前$i-1$个物品当中最大价值，$f[i][j-i]$指的是装的下的情况。（此为个人理解，如果有不对的地方请纠正错误）

代码示例

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int dp[N];
int mod = 1e9 + 7;
int main() {scanf("%d", &n);dp[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = i; j <= n; j++) {dp[j] = (dp[j] + dp[j - i]) % mod;}}printf("%d", dp[n]);return 0;
}

（1）过程模拟

	0	1	2	3	4	5
0	1	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1
2	1	0	2	2	3	3
3	1	0	0	3	4	5
4	1	0	0	0	5	6
5	1	0	0	0	0	7

上表中，列表示的是最终和的值，行表示和值最多由$j$个数相加，$dp[i][j]$则是表示的是方案个数。

（2）代码示例

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int dp[N];
int mod = 1e9 + 7;
int main() {scanf("%d", &n);dp[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = i; j <= n; j++) {dp[j] = (dp[j] + dp[j - i]) % mod;}}printf("%d", dp[n]);return 0;
}

3、计数类DP的做法

（1）过程模拟

	0	1	2	3	4	5
0	1	0	0	0	0	0
1	0	1	0	0	0	0
2	0	1	1	0	0	0
3	0	1	1	1	0	0
4	0	1	2	1	1	0
5	0	1	2	2	1	1

上表中，列表示的是总和$i$，行表示有$j$个数相加，$dp[i][j]$则是表示的是有$j$个数相加构成$i$的数量。

（2）闫氏DP分析法

（3）代码示例

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int dp[N][N];
int mod = 1e9 + 7;
int main() {scanf("%d", &n);dp[0][0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= i; j++) {dp[i][j] = (dp[i - 1][j - 1] + dp[i - j][j]) % mod;}}int ans = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)ans = (ans + dp[n][i]) % mod;printf("%d", ans);return 0;
}