题目：

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。子数组是数组中的一个连续部分。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

详细讲解：

本题接的重点在「关键 1：理解题意」和「关键 2：如何定义子问题（如何定义状态）」和「最后再谈谈「无后效性」。

关键 1：理解题意

题目要我们找出和最大的连续子数组的值是多少，「连续」是关键字，连续很重要，不是子序列。

题目只要求返回结果，不要求得到最大的连续子数组是哪一个。这样的问题通常可以使用「动态规划」解决。

关键 2：如何定义子问题（如何定义状态）

设计状态思路：把不确定的因素确定下来，进而把子问题定义清楚，把子问题定义得简单。动态规划的思想通过解决了一个一个简单的问题，进而把简单的问题的解组成了复杂的问题的解。

友情提示：上面这句话大家姑且这么一看，脑子里有个印象，没有那么绝对。可能不同的人看会有不同的理解。如果我以后讲解的动态规划的设计思想与这里讲解的「设计状态思路」不一样的，我会再和大家说明。如果讲解有误导的地方，还请大家指出。，

我们 不知道和最大的连续子数组一定会选哪一个数，那么我们可以求出 所有 经过输入数组的某一个数的连续子数组的最大和。

例如，示例 1 输入数组是 [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] ，我们可以求出以下子问题：

子问题 1：经过 −2-2−2 的连续子数组的最大和是多少；
子问题 2：经过 111 的连续子数组的最大和是多少；
子问题 3：经过 −3-3−3 的连续子数组的最大和是多少；
子问题 4：经过 444 的连续子数组的最大和是多少；
子问题 5：经过 −1-1−1 的连续子数组的最大和是多少；
子问题 6：经过 222 的连续子数组的最大和是多少；
子问题 7：经过 111 的连续子数组的最大和是多少；
子问题 8：经过 −5-5−5 的连续子数组的最大和是多少；
子问题 9：经过 444 的连续子数组的最大和是多少。
一共 9 个子问题，这些子问题之间的联系并没有那么好看出来，这是因为 子问题的描述还有不确定的地方（这件事情叫做「有后效性」，我们在本文的最后会讲解什么是「无后效性」）。

例如「子问题 3」：经过 −3-3−3 的连续子数组的最大和是多少。

「经过 −3-3−3 的连续子数组」我们任意举出几个：

[-2,1,-3,4] ，−3-3−3 是这个连续子数组的第 3 个元素；
[1,-3,4,-1] ，−3-3−3 是这个连续子数组的第 2 个元素；
……
我们不确定的是：−3-3−3 是连续子数组的第几个元素。那么我们就把 −3-3−3 定义成连续子数组的最后一个元素。在新的定义下，我们列出子问题如下：

子问题 1：以 −2-2−2 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 2：以 111 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 3：以 −3-3−3 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 4：以 444 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 5：以 −1-1−1 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 6：以 222 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 7：以 111 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 8：以 −5-5−5 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 9：以 444 结尾的连续子数组的最大和是多少。
我们加上了「结尾的」，这些子问题之间就有了联系。我们单独看子问题 1 和子问题 2：

子问题 1：以 −2-2−2 结尾的连续子数组的最大和是多少；
以 −2-2−2 结尾的连续子数组是 [-2]，因此最大和就是 −2-2−2。

子问题 2：以 111 结尾的连续子数组的最大和是多少；
以 111 结尾的连续子数组有 [-2,1] 和 [1] ，其中 [-2,1] 就是在「子问题 1」的后面加上 1 得到。−2+1=−1<1-2 + 1 = -1 < 1−2+1=−1<1 ，因此「子问题 2」 的答案是 111。

大家发现了吗，如果编号为 i 的子问题的结果是负数或者 000 ，那么编号为 i + 1 的子问题就可以把编号为 i 的子问题的结果舍弃掉（这里 i 为整数，最小值为 1 ，最大值为 8），这是因为：

一个数 a 加上负数的结果比 a 更小；
一个数 a 加上 000 的结果不会比 a 更大；
而子问题的定义必须以一个数结尾，因此如果子问题 i 的结果是负数或者 000，那么子问题 i + 1 的答案就是以 nums[i] 结尾的那个数。
因为我们把子问题定义的更清楚，子问题之间的联系就容易观察到。这是我们定义子问题、定义状态的经验。

接下来我们按照编写动态规划题解的步骤，把「状态定义」「状态转移方程」「初始化」「输出」「是否可以空间优化」全都写出来。

定义状态（定义子问题）
dp[i]：表示以 nums[i] 结尾 的 连续 子数组的最大和。

说明：「结尾」和「连续」是关键字。

状态转移方程（描述子问题之间的联系）
根据状态的定义，由于 nums[i] 一定会被选取，并且以 nums[i] 结尾的连续子数组与以 nums[i - 1] 结尾的连续子数组只相差一个元素 nums[i] 。

假设数组 nums 的值全都严格大于 000，那么一定有 dp[i] = dp[i - 1] + nums[i]。

可是 dp[i - 1] 有可能是负数，于是分类讨论：

如果 dp[i - 1] > 0，那么可以把 nums[i] 直接接在 dp[i - 1] 表示的那个数组的后面，得到和更大的连续子数组；
如果 dp[i - 1] <= 0，那么 nums[i] 加上前面的数 dp[i - 1] 以后值不会变大。于是 dp[i] 「另起炉灶」，此时单独的一个 nums[i] 的值，就是 dp[i]。
以上两种情况的最大值就是 dp[i] 的值，写出如下状态转移方程：

​
 
记为「状态转移方程 1」。

状态转移方程还可以这样写，反正求的是最大值，也不用分类讨论了，就这两种情况，取最大即可，因此还可以写出状态转移方程如下：

记为「状态转移方程 2」。

友情提示：求解动态规划的问题经常要分类讨论，这是因为动态规划的问题本来就有「最优子结构」的特点，即大问题的最优解通常由小问题的最优解得到。因此我们在设计子问题的时候，就需要把求解出所有子问题的结果，进而选出原问题的最优解。

思考初始值
dp[0] 根据定义，只有 1 个数，一定以 nums[0] 结尾，因此 dp[0] = nums[0]。

思考输出
注意：

这里状态的定义不是题目中的问题的定义，不能直接将最后一个状态返回回去；

这里状态的定义不是题目中的问题的定义，不能直接将最后一个状态返回回去；

这里状态的定义不是题目中的问题的定义，不能直接将最后一个状态返回回去。

重要的事情说三遍，有时候写东西写得多了，怕读者看不到重点，所以会想方设法进行强调，一句话翻来覆去反复说。我以前和一个在新东方当英语老师的朋友交流过，这样的效果最好。大家可以理解为职业病，我们更多是想要照顾到新手朋友们。大佬要是觉得我讲得啰嗦了，还请忽略。

简单的动态规划问题，很有可能问的问题就可以设计成为子问题，复杂的动态规划问题就没有那么容易看出子问题应该如何设计了，这需要一定的解决问题的经验。

这个问题的输出是把所有的 dp[0]、dp[1]、……、dp[n - 1] 都看一遍，取最大值。 同样的情况也适用于「力扣」第 300 题：「最长上升子序列」（以后我们有空，再把这道题拿出来再讲一遍，超级超级重要的一道动态规划问题）。

public class Solution {public int maxSubArray(int[] nums) {int len = nums.length;// dp[i] 表示：以 nums[i] 结尾的连续子数组的最大和int[] dp = new int[len];dp[0] = nums[0];for (int i = 1; i < len; i++) {if (dp[i - 1] > 0) {dp[i] = dp[i - 1] + nums[i];} else {dp[i] = nums[i];}}// 也可以在上面遍历的同时求出 res 的最大值，这里我们为了语义清晰分开写，大家可以自行选择int res = dp[0];for (int i = 1; i < len; i++) {res = Math.max(res, dp[i]);}return res;}
}