3.4 红黑树

概述

历史

红黑树是一种自平衡二叉查找树，最早由一位名叫Rudolf Bayer的德国计算机科学家于1972年发明。然而，最初的树形结构不是现在的红黑树，而是一种称为B树的结构，它是一种多叉树，可用于在磁盘上存储大量数据。

在1980年代早期，计算机科学家Leonard Adleman和Daniel Sleator推广了红黑树，并证明了它的自平衡性和高效性。从那时起，红黑树成为了最流行的自平衡二叉查找树之一，并被广泛应用于许多领域，如编译器、操作系统、数据库等。

红黑树的名字来源于红色节点和黑色节点的交替出现，它们的颜色是用来维护树的平衡性的关键。它们的颜色具有特殊的意义，黑色节点代表普通节点，而红色节点代表一个新添加的节点，它们必须满足一些特定的规则才能维持树的平衡性。

红黑树也是一种自平衡的二叉搜索树，较之 AVL，插入和删除时旋转次数更少

红黑树特性

1. 所有节点都有两种颜色：红🔴、黑⚫️
2. 所有 null 视为黑色⚫️
3. 红色🔴节点不能相邻
4. 根节点是黑色⚫️
5. 从根到任意一个叶子节点，路径中的黑色⚫️节点数一样

实现

插入情况

插入节点均视为红色🔴

case 1：插入节点为根节点，将根节点变黑⚫️

case 2：插入节点的父亲若为黑色⚫️，树的红黑性质不变，无需调整

插入节点的父亲为红色🔴，触发红红相邻

case 3：叔叔为红色🔴

• 父亲变为黑色⚫️，为了保证黑色平衡，连带的叔叔也变为黑色⚫️

• 祖父如果是黑色不变，会造成这颗子树黑色过多，因此祖父节点变为红色🔴

• 祖父如果变成红色，可能会接着触发红红相邻，因此对将祖父进行递归调整

case 4：叔叔为黑色⚫️

1. 父亲为左孩子，插入节点也是左孩子，此时即 LL 不平衡
   • 让父亲变黑⚫️，为了保证这颗子树黑色不变，将祖父变成红🔴，但叔叔子树少了一个黑色
   • 祖父右旋，补齐一个黑色给叔叔，父亲旋转上去取代祖父，由于它是黑色，不会再次触发红红相邻
2. 父亲为左孩子，插入节点是右孩子，此时即 LR 不平衡
   • 父亲左旋，变成 LL 情况，按 1. 来后续处理
3. 父亲为右孩子，插入节点也是右孩子，此时即 RR 不平衡
   • 让父亲变黑⚫️，为了保证这颗子树黑色不变，将祖父变成红🔴，但叔叔子树少了一个黑色
   • 祖父左旋，补齐一个黑色给叔叔，父亲旋转上去取代祖父，由于它是黑色，不会再次触发红红相邻
4. 父亲为右孩子，插入节点是左孩子，此时即 RL 不平衡
   • 父亲右旋，变成 RR 情况，按 3. 来后续处理

删除情况

case0：如果删除节点有两个孩子

• 交换删除节点和后继节点的 key，value，递归删除后继节点，直到该节点没有孩子或只剩一个孩子

如果删除节点没有孩子或只剩一个孩子

case 1：删的是根节点

• 删完了，直接将 root = null
• 用剩余节点替换了根节点的 key，value，根节点孩子 = null，颜色保持黑色⚫️不变

删黑色会失衡，删红色不会失衡，但删黑色有一种简单情况

case 2：删的是黑⚫️，剩下的是红🔴，剩下这个红节点变黑⚫️

删除节点和剩下节点都是黑⚫️，触发双黑，双黑意思是，少了一个黑

case 3：被调整节点的兄弟为红🔴，此时两个侄子定为黑 ⚫️

• 删除节点是左孩子，父亲左旋
• 删除节点是右孩子，父亲右旋
• 父亲和兄弟要变色，保证旋转后颜色平衡
• 旋转的目的是让黑侄子变为删除节点的黑兄弟，对删除节点再次递归，进入 case 4 或 case 5

case 4：被调整节点的兄弟为黑⚫️，两个侄子都为黑 ⚫️

• 将兄弟变红🔴，目的是将删除节点和兄弟那边的黑色高度同时减少 1
• 如果父亲是红🔴，则需将父亲变为黑，避免红红，此时路径黑节点数目不变
• 如果父亲是黑⚫️，说明这条路径还是少黑，再次让父节点触发双黑

case 5：被调整节点的兄弟为黑⚫️，至少一个红🔴侄子

• 如果兄弟是左孩子，左侄子是红🔴，LL 不平衡
  • 将来删除节点这边少个黑，所以最后旋转过来的父亲需要变成黑⚫️，平衡起见，左侄子也是黑⚫️
  • 原来兄弟要成为父亲，需要保留父亲颜色
• 如果兄弟是左孩子，右侄子是红🔴，LR 不平衡
  • 将来删除节点这边少个黑，所以最后旋转过来的父亲需要变成黑⚫️
  • 右侄子会取代原来父亲，因此它保留父亲颜色
  • 兄弟已经是黑了⚫️，无需改变
• 如果兄弟是右孩子，右侄子是红🔴，RR 不平衡
  • 将来删除节点这边少个黑，所以最后旋转过来的父亲需要变成黑⚫️，平衡起见，右侄子也是黑⚫️
  • 原来兄弟要成为父亲，需要保留父亲颜色
• 如果兄弟是右孩子，左侄子是红🔴，RL 不平衡
  • 将来删除节点这边少个黑，所以最后旋转过来的父亲需要变成黑⚫️
  • 左侄子会取代原来父亲，因此它保留父亲颜色
  • 兄弟已经是黑了⚫️，无需改变

完整代码

package com.itheima.datastructure.redblacktree;import static com.itheima.datastructure.redblacktree.RedBlackTree.Color.BLACK;
import static com.itheima.datastructure.redblacktree.RedBlackTree.Color.RED;/**
* <h3>红黑树</h3>
*/
public class RedBlackTree {enum Color {RED, BLACK;}Node root;static class Node {int key;Object value;Node left;Node right;Node parent;        // 父节点Color color = RED;  // 颜色public Node(int key, Object value) {this.key = key;this.value = value;}public Node(int key) {this.key = key;}public Node(int key, Color color) {this.key = key;this.color = color;}public Node(int key, Color color, Node left, Node right) {this.key = key;this.color = color;this.left = left;this.right = right;if (left != null) {left.parent = this;}if (right != null) {right.parent = this;}}// 是否是左孩子boolean isLeftChild() {return parent != null && parent.left == this;}// 叔叔Node uncle() {if (parent == null || parent.parent == null) {return null;}if (parent.isLeftChild()) {return parent.parent.right;} else {return parent.parent.left;}}// 兄弟Node sibling() {if (parent == null) {return null;}if (this.isLeftChild()) {return parent.right;} else {return parent.left;}}}// 判断红boolean isRed(Node node) {return node != null && node.color == RED;}// 判断黑boolean isBlack(Node node) {
//        return !isRed(node);return node == null || node.color == BLACK;}// 右旋 1. parent 的处理 2. 旋转后新根的父子关系private void rightRotate(Node pink) {Node parent = pink.parent;Node yellow = pink.left;Node green = yellow.right;if (green != null) {green.parent = pink;}yellow.right = pink;yellow.parent = parent;pink.left = green;pink.parent = yellow;if (parent == null) {root = yellow;} else if (parent.left == pink) {parent.left = yellow;} else {parent.right = yellow;}}// 左旋private void leftRotate(Node pink) {Node parent = pink.parent;Node yellow = pink.right;Node green = yellow.left;if (green != null) {green.parent = pink;}yellow.left = pink;yellow.parent = parent;pink.right = green;pink.parent = yellow;if (parent == null) {root = yellow;} else if (parent.left == pink) {parent.left = yellow;} else {parent.right = yellow;}}/*** 新增或更新* <br>* 正常增、遇到红红不平衡进行调整** @param key   键* @param value 值*/public void put(int key, Object value) {Node p = root;Node parent = null;while (p != null) {parent = p;if (key < p.key) {p = p.left;} else if (p.key < key) {p = p.right;} else {p.value = value; // 更新return;}}Node inserted = new Node(key, value);if (parent == null) {root = inserted;} else if (key < parent.key) {parent.left = inserted;inserted.parent = parent;} else {parent.right = inserted;inserted.parent = parent;}fixRedRed(inserted);}void fixRedRed(Node x) {// case 1 插入节点是根节点，变黑即可if (x == root) {x.color = BLACK;return;}// case 2 插入节点父亲是黑色，无需调整if (isBlack(x.parent)) {return;}/* case 3 当红红相邻，叔叔为红时需要将父亲、叔叔变黑、祖父变红，然后对祖父做递归处理*/Node parent = x.parent;Node uncle = x.uncle();Node grandparent = parent.parent;if (isRed(uncle)) {parent.color = BLACK;uncle.color = BLACK;grandparent.color = RED;fixRedRed(grandparent);return;}// case 4 当红红相邻，叔叔为黑时if (parent.isLeftChild() && x.isLeftChild()) { // LLparent.color = BLACK;grandparent.color = RED;rightRotate(grandparent);} else if (parent.isLeftChild()) { // LRleftRotate(parent);x.color = BLACK;grandparent.color = RED;rightRotate(grandparent);} else if (!x.isLeftChild()) { // RRparent.color = BLACK;grandparent.color = RED;leftRotate(grandparent);} else { // RLrightRotate(parent);x.color = BLACK;grandparent.color = RED;leftRotate(grandparent);}}/*** 删除* <br>* 正常删、会用到李代桃僵技巧、遇到黑黑不平衡进行调整** @param key 键*/public void remove(int key) {Node deleted = find(key);if (deleted == null) {return;}doRemove(deleted);}public boolean contains(int key) {return find(key) != null;}// 查找删除节点private Node find(int key) {Node p = root;while (p != null) {if (key < p.key) {p = p.left;} else if (p.key < key) {p = p.right;} else {return p;}}return null;}// 查找剩余节点private Node findReplaced(Node deleted) {if (deleted.left == null && deleted.right == null) {return null;}if (deleted.left == null) {return deleted.right;}if (deleted.right == null) {return deleted.left;}Node s = deleted.right;while (s.left != null) {s = s.left;}return s;}// 处理双黑 (case3、case4、case5)private void fixDoubleBlack(Node x) {if (x == root) {return;}Node parent = x.parent;Node sibling = x.sibling();// case 3 兄弟节点是红色if (isRed(sibling)) {if (x.isLeftChild()) {leftRotate(parent);} else {rightRotate(parent);}parent.color = RED;sibling.color = BLACK;fixDoubleBlack(x);return;}if (sibling != null) {// case 4 兄弟是黑色, 两个侄子也是黑色if (isBlack(sibling.left) && isBlack(sibling.right)) {sibling.color = RED;if (isRed(parent)) {parent.color = BLACK;} else {fixDoubleBlack(parent);}}// case 5 兄弟是黑色, 侄子有红色else {// LLif (sibling.isLeftChild() && isRed(sibling.left)) {rightRotate(parent);sibling.left.color = BLACK;sibling.color = parent.color;}// LRelse if (sibling.isLeftChild() && isRed(sibling.right)) {sibling.right.color = parent.color;leftRotate(sibling);rightRotate(parent);}// RLelse if (!sibling.isLeftChild() && isRed(sibling.left)) {sibling.left.color = parent.color;rightRotate(sibling);leftRotate(parent);}// RRelse {leftRotate(parent);sibling.right.color = BLACK;sibling.color = parent.color;}parent.color = BLACK;}} else {// @TODO 实际也不会出现，触发双黑后，兄弟节点不会为 nullfixDoubleBlack(parent);}}private void doRemove(Node deleted) {Node replaced = findReplaced(deleted);Node parent = deleted.parent;// 没有孩子if (replaced == null) {// case 1 删除的是根节点if (deleted == root) {root = null;} else {if (isBlack(deleted)) {// 双黑调整fixDoubleBlack(deleted);} else {// 红色叶子, 无需任何处理}if (deleted.isLeftChild()) {parent.left = null;} else {parent.right = null;}deleted.parent = null;}return;}// 有一个孩子if (deleted.left == null || deleted.right == null) {// case 1 删除的是根节点if (deleted == root) {root.key = replaced.key;root.value = replaced.value;root.left = root.right = null;} else {if (deleted.isLeftChild()) {parent.left = replaced;} else {parent.right = replaced;}replaced.parent = parent;deleted.left = deleted.right = deleted.parent = null;if (isBlack(deleted) && isBlack(replaced)) {// @TODO 实际不会有这种情况 因为只有一个孩子时 被删除节点是黑色 那么剩余节点只能是红色不会触发双黑fixDoubleBlack(replaced);} else {// case 2 删除是黑，剩下是红replaced.color = BLACK;}}return;}// case 0 有两个孩子 => 有一个孩子 或 没有孩子int t = deleted.key;deleted.key = replaced.key;replaced.key = t;Object v = deleted.value;deleted.value = replaced.value;replaced.value = v;doRemove(replaced);}
}

• 以上代码中的 TODO 未作改正

小结

维度	普通二叉搜索树	AVL树	红黑树
查询	平均O(logn)，最坏O(n)	O(logn)	O(logn)
插入	平均O(logn)，最坏O(n)	O(logn)	O(logn)
删除	平均O(logn)，最坏O(n)	O(logn)	O(logn)
平衡性	不平衡	严格平衡	近似平衡
结构	二叉树	自平衡的二叉树	具有红黑性质的自平衡二叉树
查找效率	低	高	高
插入删除效率	低	中等	高

普通二叉搜索树插入、删除、查询的时间复杂度与树的高度相关，因此在最坏情况下，时间复杂度为O(n)，而且容易退化成链表，查找效率低。

AVL树是一种高度平衡的二叉搜索树，其左右子树的高度差不超过1。因此，它能够在logn的平均时间内完成插入、删除、查询操作，但是在维护平衡的过程中，需要频繁地进行旋转操作，导致插入删除效率较低。

红黑树是一种近似平衡的二叉搜索树，它在保持高度平衡的同时，又能够保持较高的插入删除效率。红黑树通过节点着色和旋转操作来维护平衡。红黑树在维护平衡的过程中，能够进行较少的节点旋转操作，因此插入删除效率较高，并且查询效率也较高。

综上所述，红黑树具有较高的综合性能，是一种广泛应用的数据结构。