数字电路第一章—第三节（逻辑函数的化简方法）

一、逻辑函数的标准与或式和最简式

1、标准与或表达式

（1）下图给出了逻辑函数Y的标准与或表达式，在表达式中每一个乘积项都具有标准形式，这种标准形式的乘积项称为最小项。

（2）最小项是逻辑代数中的一个重要概念，下图中Y是变量A、B、C的函数，三个变量可以构成8个标准形式的乘积项（ $ABC$ 、 $A\bar{B}C$ 、 $AB\bar{C}$ 、 $A\bar{B}\bar{C}$ 、 $\bar{A}BC$ 、 $\bar{A}\bar{B}C$ 、 $\bar{A}B\bar{C}$ 、 $\bar{A}\bar{B}\bar{C}$ ），这8个乘积项的共同特点是：

①每个乘积项都有3个因子。

②每一个变量都以原变量或者反变量的形式，作为一个因子在乘积项中出现且仅出现一次。

（3）对于n个变量，如果P是一个含有n个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反变量的形式作为一个因子在P中出现且仅出现一次，那么就称P是这n个变量的一个最小项。n个变量一共有 $2^{n}$ 个最小项，因为每一个变量都有原变量、反变量两种形式，变量个数是n。

（4）最小项的性质：

①每一个最小项都有一组且只有一组使其值为1的对应变量取值。

②任意两个不同的最小项之积，值恒为0。

③变量全部最小项之和，值恒为1。

（5）任何逻辑函数都可以表示成为最小项之和的形式——标准与或表达式，也就是说，任何逻辑函数都是由函数中变量的若干个最小项构成的。

（6）逻辑函数最小项之和的形式——标准与或表达式是唯一的，也就是说，一个逻辑函数只有一个最小项之和的表达式。

（7）逻辑函数的标准与或表达式也可以从真值表中直接得到，只要在真值表中挑出那些使函数值为1的变量取值，变量取值为1的写出原变量，为0的写成反变量，这样对应于使函数值为1的每一种取值都可以写出一个乘积项，只要把这些乘积项加起来，得到的就是函数的标准与或表达式。

（8）为了叙述和书写的方便，通常都要对最小项进行编号，把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数就是该最小项的编号，用 $m_{i}$ 表示。（一个最小项，只要把原变量当成1、反变量当成0，便可直接得到它的编号）

2、逻辑函数的最简表达式

（1）最简与或式：乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式。

（2）最简与非—与非式：非号最少（单个变量上面的非号不算），每个非号下面相乘的变量个数也最少的与非-与非式。（在最简与或表达式的基础上，两次取反，再用德·摩根定理去掉下面的反号，便可得到函数的最简与非—与非表达式）

（3）最简或与式：括号个数最少，每个括号中相加的变量的个数也最少的或与式。（在反函数最简与或表达式的基础上，取反，再用德·摩根定理去掉下面的反号，便可得到函数的最简或与式）

（4）最简或非—或非式：非号个数最少，非号下面相加的变量个数也最少的或非—或非式。（在最简或与表达式的基础上，两次取反，再用德·摩根定理去掉下面的反号，便可得到函数的最简或非—或非式）

（5）最简与或非式：非号下面相加的乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或非式。（在最简或非—或非表达式的基础上，用德·摩根定理去掉下面的反号，便可得到函数的最简与或非式）

二、逻辑函数的公式化简法

1、并项法

（1）做法：利用公式 $AB+A\bar{B}=A$ 把两个乘积项合并起来，消去一个变量。

（2）举例：

2、吸收法

（1）做法利用公式 $A+AB=A$ 吸收掉多余的乘积项。

（2）举例：

3、消去法

（1）做法：利用公式 $A+\bar{A}B=A+B$ 消去乘积项中多余的因子。

（2）举例：

4、配项消项法

（1）做法：利用公式 $AB+\bar{A}C+BC=AB+\bar{A}C$ 在函数与或表达式中加上多余项（冗余项），以消去更多的乘积项。

（2）举例：

三、逻辑函数的图形化简法

1、图形化简法概述

（1）卡诺图即最小项方格图，用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法，称为图形化简法。

（2）图形化简法有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来也比较容易，但是当变量个数较多时，这种方法也会变得麻烦。

2、逻辑变量的卡诺图

（1）二变量的卡诺图（4个最小项）：

（2）变量卡诺图的画法：

①变量卡诺图一般都画成正方形或矩形。对于n个变量，图中分割出的小方块应有 $2^{n}$ 个，因为n个变量有 $2^{n}$ 个最小项，而每一个最小项都需要用一个小方块表示。

②按循环码排列变量取值顺序。循环码的特点是相邻编码之间只有1位码元不同，这是关键，只有这样排列，所得到的最小项方块图才成为卡诺图。

[1]循环码可以很容易地由自然二进制码推导出来，二进制码为 $B=B_{0}B_{1}B_{2}\cdot \cdot B_{n}$ 则对循环码 $G=G_{0}G_{1}G_{2}\cdot \cdot G_{n}$ （这里先用二进制表示）有 $G_{i}=B_{i+1}\bigoplus B_{i}$ （ $G_{n}=0$ ）。

[2]实际上并不用记住上面给出的规律，把卡诺图画出来后，每个小方块都对应一个最小项，把最小项对应的二进制数转换为十进制数，就是该方块的循环码。

（3）变量卡诺图的特点：

①在卡诺图中，凡是几何相邻的最小项，在逻辑上都是相邻的。

[1]几何相邻：方块几何相邻有三种情况，一是相接（紧挨着），二是相对（任一行或一列的两头），三是相重（卡诺图对折起来后位置重合）。

[2]逻辑相邻：如果两个最小项，除了一个变量的形式不同以外，其余的都相同，那么这两个最小项就称为在逻辑上是相邻的，而在逻辑上相邻的最小项是可以合并的（合并之后能消去至少一个因子）。

②卡诺图的主要缺点是随着变量个数的增加，图形会越来越复杂，当变量多于6个时，卡诺图将会变得非常庞大，不好处理。

（4）变量卡诺图中最小项合并的规律：

①两个相邻最小项合并可以消去一个因子。

②四个相邻最小项合并可以消去两个因子。

③八个相邻最小项合并可以消去三个因子。

④ $2^{n}$ 个相邻最小项合并可以消去n个因子。

3、逻辑函数的卡诺图

（1）逻辑函数卡诺图的画法：

①根据函数的变量个数画出相应的卡诺图。

②在函数的每一个乘积项所包含的最小项处都填1，其余位置填0或不填。

（2）逻辑函数卡诺图的特点：

①优点：用几何位置的相邻，形象地表达了构成函数的各个最小项在逻辑上的相邻性。

②缺点：当函数变量多于六个时，画图十分麻烦，其优点不复存在，无实用价值。

（3）逻辑函数卡诺图画法举例：（下图中未给出标准与或表达式，最小项需要根据非标准式自己推断）

（4）用卡诺图化简逻辑函数：

①基本步骤：画出逻辑函数的卡诺图，合并逻辑函数的最小项，选择乘积项写出最简与或式。

②合并最小项的原则：

[1]必须包含函数的所有最小项（最好先圈出孤立项），并且保证合并后乘积项的总数最少（也就是圈圈的个数越少越好，这需要尽可能地把包围圈画到最大）。

[2]相邻的最小项合并时，蕴含函数的最小项数量越多，则合并后乘积项的因子越少， $2^{i}$ （i=0，1，2，…，n-1）个相邻的最小项相或，可以消去i个变量。

[3]每次合并时，为了消去更多变量，可以重复使用函数的最小项，但是必须保证至少包含1个新的最小项（也就是未被重复使用过的最小项），以避免冗余项的出现。

③举例：

四、具有约束的逻辑函数的化简

1、约束的概念和约束条件

（1）约束：

①约束即输入变量取值所受的限制。

②举例：逻辑变量A、B、C分别表示电梯的升、降、停命令，A = 1表示升，B = 1表示降，C = 1表示停。

ABC的可能取值	001、010、100
ABC的不可能取值	000、011、110、101、111

（2）约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项。

（3）约束条件：

①由约束项相加所构成的值为0的逻辑表达式就是约束条件。

②约束条件的表示方法：

[1]在真值表和卡诺图上用叉号（×）表示。

[2]在逻辑表达式中，用等于0的条件等式表示。

2、具有约束的逻辑函数化简

（1）约束条件在化简中的应用：

①在公式法中，可以根据化简的需要加上或去掉约束条件，因为在逻辑表达式中，加上或去掉0，函数是不会受到影响的，而约束条件的值总是为0。

②在利用函数的卡诺图合并最小项时，可根据化简的需要包含或去掉约束项，因为合并最小项时，如果圈中包含了约束项，则相当于在相应的乘积项中加上了该约束项（其值为0），函数不会受到影响（但这并不意味着要把所有约束项都包含进去，约束项在化简中的作用仅仅只是可以使包围圈更大，而不是使包围圈的个数变多）。