目录
一、引言
二、Viterbi译码的基本原理
2.1 卷积码与网格图
2.2 Viterbi算法的核心思想
2.3 路径度量与状态转移
三、Viterbi译码算法工作原理详解
3.1 算法流程
3.2 关键步骤
3.3 译码算法举例
3.4 性能特点
四、Viterbi译码的应用场景
4.1 移动通信系统
4.2 卫星通信系统
4.3 磁盘存储系统
五、Viterbi译码的优缺点分析
5.1 优点
5.2 缺点
六、Matlab算法示例
七、总结
一、引言
在数字通信领域，为了确保信息的可靠传输，我们常常需要对发送的数据进行编码，并在接收端进行译码。其中，Viterbi译码是一种广泛使用的最大似然序列估计算法，用于在存在噪声和干扰的通信信道中恢复原始数据。本文将详细介绍Viterbi译码的基本原理、应用场景、优缺点，并与其他译码技术进行比较。
二、Viterbi译码的基本原理
Viterbi译码算法是一种基于动态规划的最优路径搜索算法，它由Andrew Viterbi于1967年提出，最初用于卷积码的解码。Viterbi译码通过寻找最可能的发送序列来估计原始信息，即在所有可能的发送序列中，选择一条与接收序列差异最小的路径作为最优估计。
2.1 卷积码与网格图
在理解Viterbi译码之前，我们需要先了解卷积码。卷积码是一种纠错编码方式，它通过将输入数据与编码器的状态进行卷积运算来生成输出码字。卷积码的特点是可以利用历史信息，使得码字之间存在一定的相关性。这种相关性可以通过网格图来表示，网格图中的每一条路径都对应一个可能的发送序列。
2.2 Viterbi算法的核心思想
Viterbi算法的核心思想是在网格图中搜索最优路径。它按照时间顺序逐步计算每个状态的最优路径度量值，并保留到达每个状态的最优路径。在每一步中，算法都会根据当前接收到的符号和状态转移概率来更新路径度量值。最终，算法选择一条具有最小路径度量值的路径作为最优估计。
2.3 路径度量与状态转移
路径度量是衡量路径优劣的指标，通常定义为路径上所有分支的度量值之和。分支度量值可以根据接收符号与预期符号之间的差异来计算，差异越小，度量值越小。状态转移是指从一个状态转移到另一个状态的过程，每个状态转移都对应一个分支度量值。
三、Viterbi译码算法工作原理详解
Viterbi译码算法是一种最大似然序列估计（MLSE）算法，用于在存在噪声的情况下解码卷积码，它是由Andrew Viterbi在1967年提出的。该算法通过动态规划的方式，寻找最有可能通过卷积码编码器和噪声信道传输的原始信息序列。
3.1 算法流程
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初始化：确定所有状态在时刻t=0的路径度量值。对于起始状态，路径度量通常设为0，而对于其他所有状态，路径度量则设为无穷大（表示不可能的状态）。
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递推（路径度量计算与更新）：对于每个时刻t和每个状态s，计算到达该状态的所有可能路径的度量值。路径度量通常基于接收序列和假设路径之间的差异，如汉明距离或欧氏距离。选择具有最小度量值的路径作为幸存路径，并更新路径度量和路径历史。
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终止：在达到接收序列的末尾时，选择具有最小路径度量的状态作为最终状态。
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回溯：从最终状态开始，沿着幸存路径回溯到初始状态，从而确定最可能的原始信息序列。
3.2 关键步骤
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分支度量计算：对于每个状态和每个可能的输入比特，计算从当前状态转移到下一状态的分支度量。这通常涉及计算接收序列与假设分支之间的差异。
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加-比较-选择（ACS）操作：对于每个状态，将所有进入该状态的路径的度量值相加，并与当前状态的幸存路径度量进行比较。选择具有最小度量值的路径作为新的幸存路径。
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路径历史存储：为了能够在最后进行回溯，需要存储每个状态和时刻的幸存路径历史信息。
3.3 译码算法举例
维特比算法就是寻找一条路径，使得该路径的编码输出与接收序列的汉明距离最小，其关键就是路径的寻找过程。
- 根据网格图（Trellis）（【5G NR】【一文读懂系列】移动通讯中使用的信道编解码技术-卷积码原理），首先，我们从第一个状态出发，到下一个状态有两种路径，分别计算这两条路径的编码输出与接收序列的汉明距离(注意，此时不能进行任何舍弃，不能将距离大的舍弃)。
- 第二步，从第一步到达的两个状态出发，继续寻找路径，由于2位移位寄存器共有四种状态，因此此时我们得到到达所有状态的路径(无论是否最优)
- 第三步，从这四个状态出发，继续寻找路径，此时我们将得到8种路径。这一步是算法的关键，此时要保留到达各状态的最短路径，舍弃其他路径，即舍弃后仍保留四条路径，且四条路径分别对应四个状态(无论该状态以后的路径如何选择，当到达该状态时，该状态以前的路径一定是最优的)。对于(n,k,N)卷积码，进行维特比译码时，当到达第N步时，要对路径进行舍弃，只保留幸存路径的信息，储存幸存路径以及当前的累计距离。
- 第四步：继续进行路径寻找，同样只保留每个状态下的幸村路径，直至步数达到输入序列的个数。
维特比算法复杂度：每步要比较2×2^(N-1)条路径(每个状态两条)，计算量与步数(输入码的个数)成正比。
3.4 性能特点
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最优性能：在给定足够长的接收序列时，Viterbi译码器能够提供最大似然序列估计，即它能够找到最有可能的原始信息序列。
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复杂度：Viterbi译码的复杂度随约束长度的增加而指数增长。然而，通过有效的实现技术（如量化和剪枝），可以降低实际应用的复杂度。
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延迟：由于Viterbi译码是一种块处理算法，它通常会在接收到整个块或一段足够长的序列后才开始解码，这可能会导致一定的解码延迟。
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适用于多种信道：Viterbi译码不仅适用于加性白高斯噪声（AWGN）信道，还适用于其他类型的信道，如瑞利衰落信道和多径信道。
四、Viterbi译码的应用场景
Viterbi译码广泛应用于各种数字通信系统，特别是那些对误码率要求较高的场景。以下是一些典型的应用场景：
4.1 移动通信系统
在移动通信系统中，由于信道条件复杂多变，信号在传输过程中容易受到干扰和衰落。Viterbi译码可以有效地纠正由于信道干扰引起的误码，提高通信系统的可靠性。
4.2 卫星通信系统
卫星通信系统面临着长距离传输和大气层干扰等挑战。Viterbi译码结合其他纠错编码技术，可以在恶劣的信道条件下实现数据的可靠传输。
4.3 磁盘存储系统
在磁盘存储系统中，由于磁盘表面的缺陷、磁头的不稳定性以及外部干扰等因素，读取数据时可能会发生错误。Viterbi译码可以提高磁盘存储系统的数据恢复能力，减少读取错误的发生。
五、Viterbi译码的优缺点分析
5.1 优点
（1）性能优越：Viterbi译码是一种最大似然序列估计算法，它能够在存在噪声和干扰的信道中实现较低的误码率。
（2）适用于多种信道条件：Viterbi译码算法对信道条件的变化具有较强的适应性，可以应用于不同类型的信道。
（3）可与其他技术结合使用：Viterbi译码可以与其他纠错编码技术、调制技术等结合使用，进一步提高通信系统的性能。
5.2 缺点
（1）计算复杂度较高：Viterbi译码算法的计算复杂度随约束长度的增加而呈指数增长，这限制了其在一些实时性要求较高的场景中的应用。
（2）存储需求较大：为了实现Viterbi译码，需要存储大量的路径度量值和状态信息，这对硬件的存储能力提出了更高的要求。
（3）对初始状态敏感：Viterbi译码的性能受到初始状态选择的影响，如果初始状态选择不当，可能会导致译码性能下降。
六、Matlab算法示例
下面是一个简单的Viterbi译码算法的Matlab实现示例。请注意，这个例子假设你已经有了卷积码的生成多项式、输入信号（接收序列）以及其他必要的参数。
function decoded_bits = viterbi_decoder(received_signal, constraint_length, generator_polynomials) % received_signal: 接收到的信号序列（1 x N 向量） % constraint_length: 约束长度（标量） % generator_polynomials: 生成多项式的矩阵形式（K-1 x R 矩阵，K是约束长度，R是输出数量） % decoded_bits: 译码后的比特序列（1 x (N/R) 向量，R是输出数量） % 参数检查 if nargin < 3 error('Not enough input arguments.'); end % 初始化变量 N = length(received_signal); % 接收信号长度 R = size(generator_polynomials, 2); % 输出数量（速率为1/R） num_states = 2^(constraint_length - 1); % 状态数 trellis = poly2trellis(constraint_length - 1, generator_polynomials); % 创建网格结构 % 初始化路径度量和路径历史 path_metrics = zeros(num_states, N/R); % 路径度量矩阵 path_metrics(:, 1) = inf; % 初始化为无穷大 path_history = cell(num_states, N/R); % 路径历史单元数组 % 开始状态（全零状态）的路径度量和历史 start_state = 0; path_metrics(start_state + 1, 1) = 0; % Matlab索引从1开始 path_history{start_state + 1, 1} = start_state; % Viterbi算法主循环 for t = 2:N/R for s = 0:num_states-1 % 计算到达当前状态的所有可能的前一状态 prev_states = viterbistate(trellis, s); % 对于每个可能的前一状态，计算分支度量 for ps = prev_states branch_metrics = hammingdist(received_signal((t-1)*R + 1:t*R), ... encode(trellis, [path_history{ps + 1, t-1}, 0], 0, 'truncation', 'conventional')*2 - 1); % 计算路径度量并更新如果找到更好的路径 metrics = path_metrics(ps + 1, t-1) + branch_metrics; if metrics < path_metrics(s + 1, t) path_metrics(s + 1, t) = metrics; path_history{s + 1, t} = ps; end end end end % 回溯找到最佳路径 [~, end_state] = min(path_metrics(:, end)); decoded_bits = zeros(1, N/R); for t = N/R:-1:1 decoded_bits(t) = mod(end_state, 2); % 提取最后一位作为译码比特 end_state = floor(end_state / 2); % 移除最后一位以回溯 if t > 1 [~, end_state] = ismember(path_history{end_state + 1, t}, 0:num_states-1); % 找到前一状态 end end % 翻转译码比特序列，因为我们是从后向前回溯的 decoded_bits = fliplr(decoded_bits);
end % 注意：此代码片段是一个概念示例，可能需要针对您的特定应用场景进行调整。
% 实际使用中，请确保所有输入参数都是正确和有效的，并考虑代码的边界情况和错误处理。
% 此外，'encode' 函数用于模拟卷积编码过程，可能需要根据您的具体编码方案进行修改。
% 代码中用到的 'hammingdist' 函数计算汉明距离，用于计算分支度量。如果您的信号不是二进制或者有不同的度量标准，请相应修改。七、总结
Viterbi译码作为一种高效的纠错编码技术，在数字通信领域具有广泛的应用前景。它通过动态规划的方法在网格图中搜索最优路径，实现了在低信噪比和复杂信道条件下的可靠数据传输。卷积码和Viterbi算法在非常低的信噪比下性能不佳，复杂度随约束长度增加而增加；Turbo码是一种高级的前向纠错码，由两个或多个卷积编码器和一个随机交织器组成，使用迭代解码来逼近最大似然解码的性能，在较低信噪比下接近香农极限的性能。后续我们会介绍Turbo码原理和解码算法。
