数解 transformer 之 self attention transformer 公式整理

句子长度为n；比如2048，或1024，即，一句话最多可以是1024个单词。

1, 位置编码

$E=[e_1 e_2 \cdots e_{n}]\\ e_{pos}(2i) = PE(pos, 2i) = sin(pos/10000^{2i/n})\\ e_{pos}(2i+1) =PE(pos,2i+1)=cos(pos/10000^{(2i+1)/n})\\ where\,\, pos \in \{1,2,\cdots,n\}$

可知，E是由n个列向量组成的矩阵，每个列向量表示该列号的位置编码向量。

2, 输入向量

加入本句话第一个单词的词嵌入向量是 $x_1$ , 第二个单词是 $x_2$ , 以此类推，最多是 $x_n$ .

如果句子长度不足 n个单词，则后面没有单词对应的 $x_i = \mathbf{0}$

令 $X=(x_1\,x_2\,\cdots\,x_n)$ 为句子的词嵌入编码矩阵表示，为了让单词携带位置信息，直接将每个单词的词嵌入向量上加位置编码向量：

$x_i = x_i + e_i$

矩阵表示为：

$X=X+E$

$X=(x_1+e_1 \,\,x_2+e_2\,\,\cdots\,\,x_n+e_n)$

作为第一层 self-attention 模块的输入向量。

3, 完整的一层编码器计算过程

$X=(x_1\,\,x_2\,\, \cdots\,\,x_n)$

$[q_1\,q_2\cdots\,q_n] = Q = W_qX=W_q[x_1\,\,x_2\,\,\cdots\,\,x_n]$

$[k_1\,k_2\,\cdots\,k_n]=K=W_kX=W_k[x_1\,\,x_2\,\,\cdots\,\,x_n]$

$[v_1\,v_2\,\cdots\,v_n]=V=W_vX=W_v[x_1\,\,x_2\,\,\cdots\,\,x_n]$

$\left[ \begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{2,1} & \cdots &a_{n,1}\\ a_{1,2} & a_{2,2} & \cdots &a_{n,2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{1,n} & a_{2,n} & \cdots &a_{n,n}\\ \end{array} \right] = A =K^TQ= \left[ \begin{array}{c} k_1^T\\ k_2^T\\ \vdots\\ k_n^T\\ \end{array} \right] [q_1\,q_2\, \cdots \,q_n]$

$\left[ \begin{array}{cccc} a_{1,1}^{'} & a_{2,1}^{'} & \cdots &a_{n,1}^{'}\\ a_{1,2}^{'} & a_{2,2}^{'} & \cdots &a_{n,2}^{'}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{1,n}^{'} & a_{2,n}^{'} & \cdots &a_{n,n}^{'}\\ \end{array} \right] = A^{'} = \mathbf{softmax}_{column}(\mathbf{A}) = \mathbf{softmax}_{column} ( \left[ \begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{2,1} & \cdots &a_{n,1}\\ a_{1,2} & a_{2,2} & \cdots &a_{n,2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{1,n} & a_{2,n} & \cdots &a_{n,n}\\ \end{array} \right] )$