研究算法的 渐近效率

1、渐近记号（40）

1、Θ：

使得 对于足够大的n，函数 f(n) 能 夹入 c1g(n) 与 c2g(n) 之间，则 f(n) ∈ 集合Θ(g(n))
g(n) 是 f(n) 的一个渐近紧确界

g(n)本身 必为渐近非负

使用 Θ(1) 来意指 一个常量 或者 关于某个常量的一个常量函数

2、O：
Θ记号 渐近地给出 一个函数的上界和下界。当只有一个 渐近上界 时，使用O记号

f(n) = Θ(g(n)) 蕴含着 f(n) = O(g(n))，因为 Θ记号 是一个比O记号更强的概念
使用O记号，可以仅仅通过 检查算法的总体结构 来描述算法的运行时间（看循环）

3、Ω：
Ω记号提供了渐近下界

三种记号的图片总结

4、相关定理

通常用它 从渐近上界 和 下界 来证明 渐近确界
当称 一个算法运行时间为 Ω(g(n)) 时，意指对每个n值，不管 选择什么特定的规模为n的输入，对这个输入的运行时间 至少是g(n)的常数倍

插入排序的运行时间 介于 Ω(n) 和 O(n²)，上下界是尽可能 紧确的
例如：插入排序的运行时间不是 Ω(n²)，因为存在一个输入（排好序），对该输入，插入排序 在Θ(n)时间内运行。然而，这与 插入排序的最坏情况 运行时间为Ω(n²)并不矛盾

5、等式和不等式中的 渐近符号
当渐近记号 独立于 等式（或不等式）的右边时（如 n = O(n²)中），指集合的成员函数：n∈O(n²)

当渐近记号 出现在某个公式中的时候，代表某个 不关注名称的匿名函数。例如：2n²+3n+1 = 2n²+Θ(n) 意指 2n²+f(n)，其中f(n)是 集合 Θ(n)中的某个函数（这里f(n) = 3n + 1），按这种方式使用渐近号 可以帮助 消除一个等式中 无关紧要的细节与混乱

6、o：
O记号提供的渐近上界 可能是也可能不是 渐近紧确的。使用 o记号 来表示一个 非渐近紧确的上界（不能是紧确的）

与O记号的主要区别：
在f(n) = O(g(n))中，界 0<=f(n)<=cg(n) 对某个常量 c>0 成立；但在f(n) = o(g(n)) 中，界 0<=f(n)<cg(n) 对所有常量 c>0 成立

在o记号中，当n趋于 无穷时，函数 f(n)相对于g(n)来说 微不足道了

7、ω：
ω记号 来表示一个非渐近紧确的下界
定义方式一：

定义方式二：

关系 f(n) = ω(g(n)) 蕴含着

8、比较各种函数
传递性：

自反性：（只有 可以是紧确的才有的性质）

对称性：（只有 Θ）

转置对称性：（O与Ω，o与ω）

9、这些性质对 渐近记号成立，在两个函数f和g的渐近比较 和 两个实数 a与b的比较作类比

但是 下列性质 不能携带到 渐近记号：
三分性：对任意的两个实数 a和b，下列三种情况 恰有一种必须成立：a<b，a=b，或 a>b

虽然 任意两个实数都可以进行比较，但不是所有函数 都可以渐近比较。对两个函数 f(n)和g(n)，也许 f(n)=O(g(n))和f(n) = Ω((g(n))都不成立。如：不能使用 渐近记号 来比较函数 n和 n^1+sinn 中的幂值 在0与2之间摆动

2、标准记号与常用函数（45）

1、向下取整 与 向上取整


2、log的一些性质

最后一个式子的证明：对两边取 logb

3、多重函数
使用记号 f⁽ⁱ⁾(n) 来表示 函数f(n)重复i次作用于 一个初值n上。形式化地定义

例：若 f(n) = 2n，则 f⁽ⁱ⁾(n) = 2ⁱn

4、多重对数：
非正数的对数 无定义，所以 只有在 lg^(i-1)n > 0 时 lg⁽ⁱ⁾n 才有定义。区分 lg⁽ⁱ⁾n（从参数n开始，连续应用 对数函数i次）与 lg⁽ⁱ⁾n（n的对数的i次幂）
定义 多重对数函数为